Головна |
Визначений інтеграл
(1)
від заданої безперервної функції y = f (x) точно обчислюється далеко не завжди. Однак, користуючись його геометричним змістом, можна дати ряд наближених формул, за допомогою яких цей інтеграл знаходиться з будь-яким ступенем точності. Ми тут розглянемо найпростішу з них, так звану формулу трапецій.
Як відомо, інтеграл (1) являє собою площу криволінійної трапеції, обмеженою лінією y = f (x), віссю Ох і двома координатами х = а і х = b (рис. 12). Розіб'ємо відрізок [a, b] на n рівних частин довжини (Крок розбиття).
нехай х0, х1, ..., Хn (x0= A, xn= B) - абсциси точок ділення і у0, у1, ..., Уn - Відповідні ординати кривої. Маємо розрахункові формули
Хi= х0 + Ih, yi= F (xi)
(I = 0, 1, 2, ..., n). В результаті побудови наша криволінійна трапеція розбилася на ряд вертикальних смужок однієї і тієї ж ширини h, кожну з яких приблизно приймемо за трапецію. Підсумовуючи площі цих трапецій, матимемо
або
(2)
(Формула трапецій). Формулу (2) можна коротко записати у вигляді
, (3)
де = 1/2 при i = 0 і i = n і = 1 при i = 1, 2, ..., n-1.
похибка
називається залишковим членом формули трапецій (3). Доведено, що якщо функція y = f (x) має безперервну другу похідну на відрізку [a, b], то де
Приклад. наближено обчислити .
Розіб'ємо проміжок інтегрування [0, 1] на 10 частин (n = 10); отже, крок h = 0,1.
i | xi | ?iyi |
0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0 | 0,5000 * 1,00501,01981,04401,07701,11801,16621,22071,28061,34540,7071 * | |
? | 11,4838 |
Абсциси точок ділення xi(I = 0, 1, ..., 10) і відповідні їм ординати , Обчислені за допомогою таблиці квадратних коренів, наведених у таблиці, причому ординати для зручності помножені на множник ?i такий, що ?i= 1/2 при i = 0, i = 10 (відзначені зірочкою) і ?i= 1 пр і i = 1, 2, ..., 9.
За формулою (3) маємо I?0.1 * 11.4838?1.148. Точне значення інтеграла одно I = .
Обчислення площі поверхні тіла обертання | Формула Сімпсона
Властивість адитивності. | Властивість монотонності. | Теорема про повну загальну середню | Інтегрування по частинах в певному інтегралі | Заміна змінної в певному інтегралі | невласні інтеграли | приклади | Площ плоских фігур і довгі дуги | приклади | Обчислення обсягу тіла |