Головна |
1. Знайти площу області, обмеженої графіками функцій y = x / e і y = xe-x.
Рішення. Будуємо графіки функцій y = x / e і y = xe-x в одній системі координат. При цьому графік функції y = xe-x будуємо, попередньо провівши її повне дослідження. Знаходимо точки перетину кривих з рівняння Звідси
Площа області знаходимо за формулою (1):
Перший інтеграл перебувати способом інтегрування частинами:
тому
остаточно (Кв. Од.).
2. Знайти площу області, обмеженої кривою (A> 0). Встановимо область визначення цієї функції, тому що в полярній системі координат , То побудуємо допоміжний графік функції sin3? на проміжку [0,2?]. Він виходить з графіка функції sin? стисненням в 3 рази по осі ?:
Оскільки ??0 => sin3??0, то з графіка знаходимо:
Складемо таблицю значень функції ? = ? (?) на сегменті [0, ? / 3].
? | ? / 18 | ? / 12 | ? / 6 | ? / 4 | 5? / 18 | ? / 3 | |
? | a / 2 | a | a / 2 |
Будуємо криву в полярній системі координат при . Оскільки графік функції sin3? симетричний відносно прямої ? = ? / 6, то отримана крива симетрична щодо променя з рівнянням ? = ? / 6. Отримуємо один «пелюстка» кривої. Решта два «пелюстки»
(при і при ) Виходять аналогічно.
В силу симетрії кривої досить обчислити площу половини одного пелюстки () і помножити її на 6. За формулою для обчислення площі в полярних координатах отримуємо для площ всієї області:
відповідь: (Кв.ед.).
3. Знайдіть довжину дуги кардіоїди
Рішення. Побудова кривої в полярній системі координат докладно роз'яснено в попередньому прикладі. Оскільки дана функція ? = ? (?) парна, то кардіоїда симетрична щодо променя ? = 0, тобто щодо полярної осі; склавши таблицю значень функції ? (?), зобразимо кардиоиду:
? | ? / 3 | ? / 2 | 3? / 2 | ? | |
? | 2а | 3а / 2 | а | а |
Оскільки то и Тому
Звідси
Відповідь: l = 8а (од.)
Площ плоских фігур і довгі дуги | Обчислення обсягу тіла
Поняття про певний інтеграл | Визначений інтеграл із змінною верхньою межею | Загальні властивості. | Властивість адитивності. | Властивість монотонності. | Теорема про повну загальну середню | Інтегрування по частинах в певному інтегралі | Заміна змінної в певному інтегралі | невласні інтеграли | приклади |