Головна

Заміна змінної в певному інтегралі

  1. II Виміряти середньоквадратичне значення змінної складової, середньоквадратичне діюче і амплітудне напруги після випрямляча для різних навантажень.
  2. II Виміряти середньоквадратичне значення змінної складової, середньоквадратичні діючі і амплітудне напруги після випрямляча для різних навантажень.
  3. А) При змінної глибині каналу
  4. А. Заміна генерального директора і головного бухгалтера на наших співробітників (адекватних !!!).
  5. А. Перша частина іспиту.
  6. ДРУГИЙ ЕТАП ПРАКТИЧНОГО ІСПИТУ

Нехай дано певний інтеграл

 , (1)

Де f (x) - безперервна функція на відрізку [a, b], і нехай з якихось міркувань нам бажано ввести нову змінну t, пов'язану з колишньою х співвідношенням:

х = ? (t) (? ? t ? ?), (2)

де ? (t) - безперервно диференціюється функція на відрізку [a, b]. Якщо при цьому: 1) при зміні t від ? до ? змінна х змінюється від a до b, тобто

? (?) = а, ? (?) = b, (3)

і 2) складна функція f (? (t)) визначена і неперервна на відрізку [?, ?] (якщо значення ? (t) не виходять з відрізка [a, b], то умова 2) надмірно - теорема про безперервність складної функції ), то справедлива формула

 . (4)

Для доказу розглянемо складну функцію

F (? (t)),

де F (x) - первісна для функції f (x), тобто

F '(x) = f (x).

Застосовуючи правило диференціювання складної функції, одержимо:

,

отже, функція F (? (t)) x є первісною для функції

.

Звідси, на підставі формули Ньютона-Лейбніца, з огляду на рівності (3), матимемо

,

що й потрібно було довести.

Зауваження. При обчисленні визначеного інтеграла за допомогою заміни змінної немає необхідності повертатися до колишньої змінної, досить лише ввести нові межі інтегрування за формулами (3).

Приклад. обчислити

 . (5)

природно покласти

 , (6)

звідси х = t2-1 І dx = 2tdt. Нові межі інтегрування визначаються з формули (6): вважаючи х = 0, матимемо t = 1 і, вважаючи х = 3, отримаємо t = 2. отже,

.



Інтегрування по частинах в певному інтегралі | невласні інтеграли

теорема | приклади | Інтегрування по частинах | приклади | Поняття про певний інтеграл | Визначений інтеграл із змінною верхньою межею | Загальні властивості. | Властивість адитивності. | Властивість монотонності. | Теорема про повну загальну середню |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати