Головна |
Нехай дано певний інтеграл
, (1)
Де f (x) - безперервна функція на відрізку [a, b], і нехай з якихось міркувань нам бажано ввести нову змінну t, пов'язану з колишньою х співвідношенням:
х = ? (t) (? ? t ? ?), (2)
де ? (t) - безперервно диференціюється функція на відрізку [a, b]. Якщо при цьому: 1) при зміні t від ? до ? змінна х змінюється від a до b, тобто
? (?) = а, ? (?) = b, (3)
і 2) складна функція f (? (t)) визначена і неперервна на відрізку [?, ?] (якщо значення ? (t) не виходять з відрізка [a, b], то умова 2) надмірно - теорема про безперервність складної функції), то справедлива формула
. (4)
Для доказу розглянемо складну функцію
F (? (t)),
де F (x) - первісна для функції f (x), тобто
F '(x) = f (x).
Застосовуючи правило диференціювання складної функції, одержимо:
,
отже, функція F (? (t)) x є первісною для функції
.
Звідси, на підставі формули Ньютона-Лейбніца, з огляду на рівності (3), матимемо
,
що й потрібно було довести.
Зауваження. При обчисленні визначеного інтеграла за допомогою заміни змінної немає необхідності повертатися до колишньої змінної, досить лише ввести нові межі інтегрування за формулами (3).
Приклад. обчислити
. (5)
природно покласти
, (6)
звідси х = t2-1 І dx = 2tdt. Нові межі інтегрування визначаються з формули (6): вважаючи х = 0, матимемо t = 1 і, вважаючи х = 3, отримаємо t = 2. отже,
.
Інтегрування по частинах в певному інтегралі | невласні інтеграли
теорема | приклади | Інтегрування по частинах | приклади | Поняття про певний інтеграл | Визначений інтеграл із змінною верхньою межею | Загальні властивості. | Властивість адитивності. | Властивість монотонності. | Теорема про повну загальну середню |