Головна

Завдання для самостійного рішення

  1. I. Цілі і завдання дисципліни, її місце в навчальному процесі
  2. I. Цілі і завдання курсової роботи.
  3. I. Цілі і завдання освоєння дисципліни
  4. I. Мета і завдання курсових робіт
  5. II. завдання
  6. II. навчальні завдання
  7. II. Цілі, завдання та основні показники для вирішення завдань, опис очікуваних результатів програми і термін її реалізації

1. Випадкова величина Х задана щільністю ймовірності  в інтервалі (0; 4), поза цим інтервалом  . Знайдіть математичне сподівання, дисперсію, середньоквадратичне відхилення величини Х.

2. Випадкова величина Х задана щільністю ймовірності  в інтервалі (0; 1). Поза цим інтервалу  . Знайдіть параметр С і числові характеристики величини Х.

3. Випадкова величина Х задана щільністю ймовірності  в інтервалі (3; 5), поза цим інтервалом  . Знайдіть моду, медіану і математичне очікування величини Х.

4. Випадкова величина Х задана щільністю ймовірності  в інтервалі (2; 4), поза цим інтервалом  . Знайдіть моду, медіану і математичне очікування величини Х.

5. Випадкова величина Х задана в інтервалі (0; ?) щільністю ймовірності  , Поза цим інтервалом  . Знайдіть дисперсію величини Х.

6. Випадкова величина Х задана щільністю ймовірності  в інтервалі  , Поза цим інтервалом  . Знайдіть математичне сподівання і дисперсію величини Х.

7. Знайдіть математичне сподівання випадкової величини Х, Заданої функцією розподілу

8. Знайдіть дисперсію с. в. Х:

9.дана функція

Знайдіть параметр С, Числові характеристики випадкової величини Х.

10. С. в. Х задана функцією розподілу

Знайдіть: а) щільність ймовірності  ; б) числові характеристики с. в. Х; в)  ; в) побудуйте графіки и .

11.Безперервна випадкова величина Х розподілена в інтервалі (0; 1) згідно із законом з щільністю ймовірності  Знайдіть математичне сподівання і дисперсію випадкової величини .

6. НАЙВАЖЛИВІШІ РОЗПОДІЛУ безперервної ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ. «ПРАВИЛО ТРЬОХ Сигма»

Для неперервної випадкової величини виділяють рівномірний, показове і нормальноераспределенія.

1. Н. с. в. Х має рівномірний розподіл на відрізку [a; b], Якщо на цьому відрізку щільність розподілу ймовірності с. в. постійна, а поза ним дорівнює нулю, тобто

Функція розподілу має вигляд:

 графіки щільності  і функції розподілу  для рівномірного розподілу представлені на рис. 8.

           
   
   
y= 0
 


Мал. 8. и  для рівномірного розподілу

Ймовірність влучення рівномірно розподіленим с. в. Х в інтервалі  дорівнює:

.

Математичне очікування .

дисперсія .

До випадкових величин, що мають рівномірний розподіл, відносяться: час очікування пасажиром транспорту, що курсує з певним інтервалом; помилка округлення числа до цілого (вона рівномірно розподілена на [-0,5; 0,5]), і взагалі випадкові величини, про які відомо, що всі їх значення лежать всередині деякого інтервалу, і всі вони мають однакову ймовірність (щільність).

2. Безперервна с. в. Х розподілена по показовому закону, якщо її щільність ймовірності має вигляд:

де  - Параметр показового розподілу. Функція розподілу має вигляд:

графіки щільності  і функції розподілу  для показового розподілу представлені на рис. 9.

       
   


x

Мал. 9. и  для показового розподілу

Ймовірність влучення випадкової величини  , Розподіленої по показовому закону, в інтервалі :

.

Математичне сподівання і дисперсія для показового розподілу:

.

Показовий розподіл використовується в додатках теорії ймовірностей, особливо в теорії масового обслуговування, у фізиці, в теорії надійності. Воно використовується для опису розподілу випадкової величини виду: тривалість роботи приладу до першої відмови, тривалість часу обслуговування в системі масового обслуговування і т. Д

3. нормальне розподіл (розподіл Гауса) - це розподіл н. с. в. Х, Що характеризується щільністю ймовірності:

,

де  - математичне очікування;

 - Середньоквадратичне відхилення с. в. Х.

Той факт, що с. в. Х має нормальний розподіл з параметрами и  , Скорочено записується так: ~ .

Функція розподілу має вигляд:

,

де  - Функція Лапласа.

графіки щільності  і функції розподілу  для нормального розподілу представлені на рис. 10.

       
   


Мал. 10. и  для нормального розподілу

Імовірність того, що с. в. Х прийме значення, що належить інтервалу  дорівнює:

.

Мода і медіана для нормально розподіленої с. в. Х дорівнюватимуть: .

Коефіцієнти асиметрії та ексцесу рівні: и .

Нормальному закону підкоряються помилки вимірювань, величини зносу деталей в механізмах, зростання людини, помилки при стрільбі, величина шуму в радіоприймальному пристрої і т. Д.

Імовірність того, що с. в. Х, Розподілена за нормальним законом, відхилиться від свого математичного очікування на величину, меншу позитивного числа  дорівнює:

.

Полога в рівність  , Отримаємо:

,

тобто відхилення с. в. Х від свого математичного очікування менше, ніж на  - Майже достовірна подія.

отримуємо відоме «Правило трьох сигм», Яке стверджує, що нормально розподілена с. в. Х практично не приймає значень поза інтервалу .

приклади:

1.Потяги даного маршруту міського трамвая йдуть з інтервалом 5 хв. Пасажир підходить до зупинки в довільний момент часу. Яка ймовірність появи пасажира не раніше ніж через хвилину після відходу попереднього вагона, але не пізніше ніж за дві хвилини до відходу наступного поїзда? Знайдіть .

Рішення. Час очікування поїзда є с. в. Х, Що має рівномірний розподіл ймовірностей. З умови задачі ;  . Тоді, застосовуючи формулу  отримаємо:

тоді .

; ;

.

2.час t розформування складу через гірку - випадкова величина, підпорядкована показовому закону. нехай  - Середнє число поїздів, які гірка може розформувати за 1 годину. Визначте ймовірність того, що час розформування складу більше 6 хв., Але не менше 24 хв. Знайдіть .

Рішення. використовуючи формулу  , Знаходимо: .

.

3.Випадкова величинаХ - Час роботи електролампочки має показовий розподіл. Визначте ймовірність того, що час роботи лампочки буде не менше 600 годин, якщо середній час роботи 400 годин.

Рішення. За умовою завдання математичне очікування с. в. Х дорівнює 400 годин, отже,  (так як  ). шукана ймовірність  , де и  . остаточно, .

4.Ціна поділки шкали амперметра дорівнює 0,1 А. Показання амперметра округлюють до найближчого цілого ділення. Знайдіть ймовірність того, що при відліку буде зроблена помилка, що перевищує 0,02 А.

Рішення. Помилку округлення відліку можна розглядати як випадкову величину Х, Яка розподілена рівномірно в інтервалі між двома сусідніми цілими поділами. Щільність рівномірного розподілу  , де  - Довжина інтервалу, в якому укладені можливі значення Х; поза цим інтервалом  . У розглянутій задачі довжина інтервалу, в якому укладені можливі значення Х, Дорівнює 0,1, тому  . Легко здогадатися, що помилка відліку перевищить 0,02, якщо вона буде укладена в інтервалі (0,02; 0,08).

За формулою

маємо:

.

5.Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом. Математичне очікування  ; дисперсія  . Знайдіть ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення в інтервалі (4; 7).

Рішення.

За умовою завдання маємо:  . Підставивши ці дані в формулу

,

маємо:

.

6.Вважається, що відхилення довжини виготовляються деталей від стандарту є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом. Стандартна довжина (математичне очікування)  см, середнє відхилення  см. Знайдіть ймовірність того, що відхилення довжини від стандартної складе по абсолютній величині не більше 0,6 см.

Рішення. якщо Х - Довжина деталі, то за умовою задачі ця величина повинна бути в інтервалі  , де  . Використовуємо формулу:

.

Підставивши дані отримаємо:

.

Отже, ймовірність того, що виготовляються деталі по довжині будуть в межах від 39,4 до 40,6 см, становить 0,8864.

7.Діаметр деталей, виготовлених заводом, є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом. Стандартна довжина діаметра  см, середнє відхилення  . В яких межах можна практично гарантувати довжину діаметра цієї деталі, якщо за достовірне приймається подія, ймовірність якого дорівнює 0,9973.

Рішення.

За умовою завдання маємо:

.

застосовуючи формулу  , Отримаємо рівність:

 або  . За табл. А.2 знаходимо, що таке значення функція Лапласа має при х= 3. отже  ; звідки  . Таким чином, можна гарантувати, що довжина діаметра буде змінюватися в межах від 2,47 до 2,53 см.

8.Випадкові значення ваги зерна розподілені нормально. Математичне сподівання ваги зерна одно 0,15 г, середньоквадратичне відхилення дорівнює 0,03 м Нормальні сходи дають зерно, вагу яких понад 0,1 г. Визначте: а) відсоток насіння, від яких слід очікувати нормальні сходи; б) величину, яку не перевищить вага окремого зерна з ймовірністю 0,99.

Рішення.

Нехай с. в. Х - Вага зерна. За умовою .

а) Відсоток насіння, дають нормальні сходи - це ймовірність отримати нормальний всход від взятого навмання зерна. За умовою нормальний всход буває у зерен, вага яких більше 0,1 м Отже, ті зерна, вага яких задовольняє умові  , Дають нормальні сходи. Визначаємо ймовірність цієї події.

Таким чином, від 95,2% слід очікувати нормального всхода;

б) позначимо шукану величину через  . Знаходимо її з умови  або  . Вираз для ймовірності в лівій частині запишемо через функцію Лапласа:

Звідси знаходимо значення функції Лапласа:  . За табл. А.2 знаходимо значення аргументу для значення функції  0,49; воно дорівнює 2,33, тоді  , звідси .

Таким чином, вага взятого зерна не буде перевищувати 0,22 г з імовірністю 0,99.

9.Маса вагона - с. в. Х, Підпорядкована нормальному закону розподілу з математичним очікуванням  т, середнім квадратичним відхиленням  т. Покажіть виконання «правила трьох сигм».

Рішення.

Для підтвердження правила трьох сигм спочатку знайдемо межі відхилення .

; .

Ймовірність влучення с. в. Х в інтервал (2,3; 7,7) дорівнює:

Значить, правило трьох сигм виконується.



ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ безперервної ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ | Завдання для самостійного рішення

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ | ВСТУП | ПОНЯТТЯ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ | Дискретної випадкової величини. ЗАКОНИ розподілу дискретної випадкової величини | Приклад. | Приклад. | Приклад. | Завдання для самостійного рішення | Завдання для самостійного рішення | Завдання для самостійного рішення |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати