На головну

випадкові величини

  1. Абсолютні І Відносні ВЕЛИЧИНИ
  2. Аномалії величини зубів
  3. У цих прикладах форма рівноваги залежить від величини сили. Це - нестійка форма деформації.
  4. Питання 2 Методи визначення величини показників якості
  5. Тимчасова шкала (timeline). Показує значення з набору даних на горизонтальній осі, яка відповідає часу. Відрізки між значеннями можуть бути будь-якої величини.
  6. Обчислення величини деформації елементів важільної передачі при гальмування вагона
  7. Гістограма розподілу випадкової величини

Випадкові події бувають дискретні (Приймають кінцеве число значень) і безперервні (Приймають будь-які значення з деякого проміжку значень).

Випадкова величина - Числова змінна (числова функція), певна на вибірковому просторі таким чином, що кожній точці вибіркового простору відповідає одне і тільки одне значення цієї змінної.

Дискретна випадкова величина Х може характеризуватися своїм рядом розподілу:

Х х1  ... хn
Р р1 ... рn

тут х1, ...,хn - Значення випадкової величини,
р1, ..., Рn - Ймовірності цих значень.

Можна ставити її також функцією розподілу

F (x) = P (X j.

Таким чином, функція розподілу задає безліч значень, які може приймати випадкова величина, разом з відповідними їм ймовірностями.

приклад 1. якщо хi - Число, що випало на гральної кістки при її киданні, а pi - Ймовірність випадання цього числа, то закон розподілу можна записати у вигляді:

Х
р  1/6  1/6  1/6  1/6  1/6  1/6

математичним очікуванням дискретної випадкової величини Х (або її середнім значенням) називають величину M (x), яка визначається формулою

дисперсією дискретної випадкової величини Х (або ступенем розсіювання значень навколо середнього) називають величину, яка визначається формулою

D (X) = M (X-M (X))2.

Відомо що завжди:

1) M (X + Y) = M (X) + M (Y),

2) M (cX) = cM (X),

3) D (cX) = c2D (X).

Якщо X і Y незалежні, то:

1) M (XY) = M (X) M (Y),

2) D (X + Y) = D (X) + D (Y).

число  - називають середнім квадратичним відхиленням Х.

Відомо, що в інтервалі  лежить не менше 8/9 всіх значень Х (нерівність трьох сигм).

приклад 2. обчислити математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини, заданої у вигляді:

Х  -2  -1
р  0,1  0,2  0,2  0,5

Рішення: Математичне очікування

дисперсія

Середнє квадратичне відхилення .

величина ,

де - ковариация між Х і У, називається коефіцієнтом кореляції між цими величинами.

значення  лежать між -1 і 1. Крайні його значення відповідають лінійної залежності між Х і У.

якщо , То величини називають некоррелірованнимі. Зокрема, незалежні випадкові величини є некоррелірованнимі.

для  виділяють зазвичай три зони:

 відповідає слабкій залежності між Х і У,

 відповідає помірної зв'язку,

 відповідає сильного зв'язку.

якщо  , То кажуть про позитивну зв'язку (з ростом Х зростає і У), інакше - про негативну (з ростом Х зменшується У).

Якщо значення випадкової величини цілком заповнюють якийсь відрізок, то вона називається безперервної, І її характеризують щільністю розподілу.

В цьому випадку математичне сподівання M (x) і дисперсія D (x) визначаються за формулами (для обмеженого і нескінченної кількості зміни випадкової величини):

Наведемо найбільш часто зустрічаються розподілу.

  1. розподіл Бернуллі. Це найпростіша форма розподілу: випадкова величина визначена на вибірковому просторі, що складається з двох тільки результатів з вірогідністю p і q = 1-p.

Для такої дискретної функції розподілу

M (x) = p,

D (x) = pq = p (1-p).

  1. біномінальної розподіл. Нехай випадкова величина може приймати цілі значення m = 0, 1, 2, ..., n. Будемо говорити, що ця величина розподілена по біномінальної закону, якщо функція, що задає її розподіл, має вигляд:

 (0

Для цього розподілу

M (x) = np,

D (x) = npq.

  1. розподіл Пуассона. Нехай випадкова величина x може приймати будь-яке ціле позитивне значення m = 0, 1, 2, .... Будемо говорити, що ця величина розподілена за законом Пуассона, якщо функція, що задає її розподіл, має вигляд:

f (m) = am e-a/ M !,

тут a - деяке позитивне число, зване параметром закону Пуассона.

Для цього розподілу:

M (x) = a,

D (x) = a.

  1. Нормальний розподіл (розподіл Гаусса). Це найбільш часто зустрічається безперервне розподіл (точніше було б сказати, що цей розподіл, до якого "підганяється" більшість досліджуваних). Такому закону або його різних модифікацій підкоряються багато набори випадкових величин. Загальний вигляд нормального розподілу задається функцією

Графік щільності розподілу залежно від параметрів

Зелена лінія відповідає стандартному нормальному розподілу

часто використовується стандартний нормальний розподіл або розподіл ймовірностей знаходження (попадання) випадкової величини в інтервал (a; b). Для обчислення значень такої функції використовується інтеграл (у всіх математичних довідниках є таблиця значень цього інтеграла):

Якщо відомо середнє відхилення випадкової величини (середньоквадратичне, наприклад), то можна отримати уявлення про величину відхилення очікуваних фактичних значень.

Кількісну оцінку цього дає нерівність П. Л. Чебишева.

Розглянемо дисперсію з вагами

Нехай a> 0 - довільне число.

Формула

називається нерівністю Чебишева.

Це нерівність дозволяє оцінити ймовірність відхилень, більших, ніж будь-який заданий число a, якщо відома дисперсія D (середньоквадратичне відхилення).

приклад. Нехай для заданого ряду чисел маємо: x = 100, D = 2. Тоді ймовірність отримання відхилення в вимірах більшого, ніж 5, буде оцінюватися як



Розрахунок продуктивності екскаваторів | Тема. Середні величини і показники варіації
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати