Головна

Приклади.

  1. Чи були у вашій компанії страхові випадки за цим видом? Скільки їх було? Розкажіть, будь ласка, самі цікаві й повчальні приклади.
  2. В: Ні, я хочу, щоб ти привів хоч якісь конкретні приклади.
  3. Приклади.
  4. Приклади.
  5. Приклади.
  6. Приклади.

1)  2)  3)

5. 9. Інтегрування «по частинах» у певному інтегралі

нехай и  безперервні на відрізку  функції мають безперервні похідні  . За правилом диференціювання добутку двох функцій:  Проинтегрируем це рівність на :  . За формулою Ньютона-Лейбніца:  тому

 Звідки отримуємо формулу:

Приклад.

.

6. Додатки певного інтеграла 1. Визначений інтеграл - є площа криволінійної трапеції, Утворена віссю , прямими  , де .

 Якщо функція знаходиться під віссю  то  тоді

Приклад. Обчислити площу фігури, обмежену відрізком

.

1. Виведемо формулу для обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням навколо осі  криволінійної трапеції.

 Нехай криволінійна трапеція обмежена функцією  обертається навколо осі х. Потрібно обчислити об'єм тіла обертання. Уявімо собі все тіло розбитим на велике число частин площинами, перпендикулярними

Тоді, обсяг кожної частини буде складатися з обсягу тіла, утвореного обертанням прямокутника з основою  і висотою у і обсягу тіла, утвореного обертанням криволінійного трикутника, розташованого над прямокутником (заштриховано сірим). При великому розбитті тіла площинами обсяг тіла, що виходить від обертання трикутника, є нескінченно мала і її можна відкинути.

Обсяг циліндра, з радіусом у, А висотою  дорівнює

Приклад. Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням еліпса навколо осі

Рішення. висловимо

3. Аналогічно, обсяг тіла, утвореного обертанням навколо осі  обмеженого кривою  і прямими  дорівнює .

7. Довжина дуги кривої і її диференціал.

1) Нехай дана крива АВ рівняння якої  де  - Безперервно диференціюється.

розіб'ємо відрізок  на  рівних частин точками:  на дузі АВ отримаємо ламану з точок  вписану в дугу. Нехай периметр цієї ламаної дорівнює

визначення: довжиною дуги АВназивається число l, Рівне межі послідовності периметрів:

Визначення: Крива, Що має довжину називається спрямляются.

Використовуючи формулу відстані між точками і формулу Лагранжа про середнє значення на відрізку отримаємо:

Розглянемо інтеграл від змінного верхньої межі:

Оскільки подинтегральная функція неперервна, то цей інтеграл можна диференціювати

З останнього легко виходить формула для диференціала дуги  або

2) Нехай крива задана в параметричному вигляді:  тоді:

приклади: 1) Обчислити довжину дуги полукубические параболи  від її вершини  до точки

Рішення:

2) Обчислити довжину однієї арки циклоїди

Рішення:

Завдання про обчислення шляху.

Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно з миттєвою швидкістю  Потрібно знайти шлях, який пройде тіло за проміжок часу від  до

Якщо швидкість постійна, то  тобто  У загальному випадку,

Приклад. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю  м / с. Знайдіть а, Якщо відомо, що шлях, пройдений тілом за 2с. від початку руху дорівнює 48 м.

Рішення.

відповідь:

Інтеграл з симетричними межами від парної і непарної функції | Управлінський облік .


Властивості невизначеного інтеграла | Правила і формули інтегрування | | Поняття визначеного інтеграла. | Геометричний сенс певного інтеграла | Властивості визначеного інтеграла | Інтеграл як функція змінного верхньої межі | Похідна від інтеграла по змінному верхньої межі. | Формула Ньютона-Лейбніца | Заміна змінної в певному інтегралі |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати