На головну

частотні характеристики

  1. III.2.1) Поняття злочину, його основні характеристики.
  2. Абсолютні та відносні характеристики інтенсівності динаміки
  3. Агрохімічні характеристики і прийоми підвищення родючості грунтів
  4. Алгоритм складання психолого-педагогічної характеристики на вихованця ДНЗ для подання в РПМПК
  5. Алгоритм складання характеристики вчителя-логопеда
  6. Біоіндикаторні характеристики біосистем різного рангу
  7. Біологічний вид. Визначення та основні характеристики (Тигдимаева)

У теорії і практиці систем автоматичного управління найбільше застосування знаходять амплітудно-фазові частотні характеристики (АФХ або їх іноді називають годографом Найквіста), логарифмічні частотні характеристики (діаграми Боде) і амплітудні частотні характеристики. Для їх розрахунку і побудови в Control System Toolbox включені відповідні функції.

Побудова частотного годографа Найквіста здійснюється за допомогою групи функцій nyquist:

nyquist (sys),

nyquist (sys, dw),

де sys - безперервна або дискретна lti-модель будь-якого підкласу;

dw = {Wmin, Wmax} - діапазон частот;

Wmin, Wmax - відповідно мінімальна та максимальна частоти.

Частотний діапазон можна також задати за допомогою масиву конкретних частот dw = [w1, w2, ..., wn], де n - число частот.

Для створення логарифмически розподіленого вектора частот використовується команда logspaсe. Ця функція повертає вектор-рядок логарифмически зростаючих частот:

logspaсe (log10 (Wmin), log10 (Wmax))

logspaсe (log10 (Wmin), log10 (Wmax), N),

де N - число точок в діапазоні частот (за замовчуванням N = 50).

Основною функцією є nyquist (sys), в якій частотний діапазон визначається автоматично по мінімальному і максимальному значенням і масиву нулів і полюсів lti-моделі. Якщо остання містить астатизм, то видається попередження, що на нульовій частоті характеристика дорівнює нескінченності (невизначене значення). Тому в цьому випадку доцільно використовувати функцію виду nyquist (sys, dw). У практичних завданнях функція nyquist найбільш часто застосовується для побудови годографа розімкнутої САУ з метою дослідження стійкості замкнутої системи за допомогою критерію Найквіста.

Для дискретних систем через періодичності частотної характеристики АФХ розраховується в діапазоні від нуля до частоти Найквіста (  ). Якщо період Ts неспеціфіцірован, то за замовчуванням приймається Ts = 1.

Приклад 3.8. Побудова АФХ розімкнутої системи з ПФ W (s) (рис.3.2).

>> Nyquist (w)

 
 


Рис.2.2. Амплітудно-фазова

Мал. 3.2. Амплітудно-фазова характеристика розімкнутої системи

!! Завдання 3.8. Побудуйте годограф Найквіста дискретної САУ по ПФ розімкнутої системи D (z).

Якщо потрібно побудувати годографи Найквіста для декількох систем в одних координатах, то можна використовувати функцію nyquist в більш загальних формах:

nyquist (sys1, sys2, ..., sysN)

nyquist (sys1, sys2, ..., sysN, dw)

nyquist (sys1, 'plotstyle1', ..., sysN, 'plotstyleN'),

де 'plotstyleK' - аргумент, який визначає стиль лінії, т. е. колір, тип і мітки годографа K-ой lti-моделі.

Примітка. Завдання стилю здійснюється відповідно до правил оформлення графіків в MATLAB - у вигляді набору трьох символьних маркерів, укладених в апострофи. Один з них визначає тип лінії (табл. 3.1), інший - колір (табл. 3.2), третій - тип мітки, званої частіше маркером (табл. 3.3). При цьому можна вказувати не всі три маркери. У цьому випадку діють маркери, встановлені за замовчуванням. Порядок маркерів в рядку стилю не регламентований, т. Е. Може бути довільним. Наприклад, стилі 'b * -' і '- * b' є еквівалентними.

Таблиця 3.1

Тип лінії

 маркер  Тип лінії
-  безперервна
 - -  штриховая
:  пунктирна
 -.  штрихпунктирна

Таблиця 3.2

колір лінії

 маркер  колір лінії
c  блакитний (cean)
m  фіолетовий (magenta)
y  жовтий (yellow)
r  червоний (red)
g  зелений (green)
b  синій (blue)
w  білий (white)
k  чорний (black)

Таблиця 3.3

Тип мітки

 маркер  Тип мітки
 крапка
+  плюс
 зірочка
о  гурток
х  хрестик

Приклад 3.9. Побудова АФХ розімкнутої системи відповідно з ПФ W (s) і 0.5W (s) в одних координатах комплексної площині з позначкою годографа W (s) маркером о, а годографа 0.5W (s) - маркером х (рис.3.3).

>> Nyquist (w, '- o', 0.5 * w, 'x-')

 
 


Мал. 2.3. Марковані годографи Найквіста

!! Завдання 3.9. Побудуйте годографи Найквіста для розімкнутої дискретної системи з ПФ D (z) і 0.7D (z), позначивши годограф D (z) маркером +, а годограф 0.7D (z) - маркером *.

Є дві форми виклику функції nyquist, які застосовуються для розрахунку годографа Найквіста без його побудови:

[Re, im, w] = nyquist (sys)

[Re, im, w] = nyquist (sys, dw)

де re, im - відповідно вектори значень і уявною частин частотної передавальної функції; w - вектор обчислених частот (при необхідності його можна опустити).

Приклад 3.10. Розрахунок значень дійсної і уявної частотних характеристик розімкнутої системи з ПФ W (s) в частотному діапазоні 1 - 30 рад / с.

>> [Re, Im] = nyquist (w, logspace (log10 (1), log10 (30), 5))

   
 Re (:,:, 1) = -2.8548Re (:,:, 2) = -0.8272Re (:,:, 3) = -0.3703Re (:,:, 4) = -0.1267Re (:,:, 5) = 0.0214  Im (:,:, 1) = -2.4108Im (:,:, 2) = -0.8645Im (:,:, 3) = -0.2049Im (:,:, 4) = 0.0310Im (:,:, 5 ) = -0.0070

!! Завдання 3.10. Обчисліть значення параметрів АФХ для розімкнутої дискретної системи з ПФ D (z) в діапазоні частот від 0 до ? / Тs.

Побудова логарифмічних частотних характеристик (ЛЧХ) здійснюється за допомогою функції bode, Яка як і функція nyquist має кілька форм звернення:

bode (sys)

bode (sys, dw)

bode (sys1, sys2, ..., sysN)

bode (sys1, sys2, ..., sysN, dw)

bode (sys1, 'plotstyle1', ..., sysN, 'plotstyleN')

[Mag, phase, w] = bode (sys)

Тут sys - безперервна або дискретна lti-модель;

mag, phase, w - відповідно вектори амплітуд, фаз (в градусах) і частот (рад / с).

Всі команди, крім останньої, здійснюють побудову діаграм Боде, що представляють сукупність двох частотних характеристик в логарифмічному масштабі: логарифмічною амплітудно-частотної характеристики (ЛАЧХ) і логарифмічною фазо-частотної характеристики (ЛФЧХ).

Приклад 3.11. Побудова логарифмічних частотних характеристик для системи, заданої ПФ W (s) (рис.3.4).

>> Bode (w); grid on

 
 


Мал. 3.4. Логарифмічні частотні характеристики системи

!! Завдання 3.11. Побудуйте діаграму Боде для розімкнутої дискретної системи з ПФ D (z).

Використання інших варіантів функції bode аналогічно функції nyquist.

Приклад 3.12. Розрахунок параметрів ЛЧХ для розімкнутої системи з ПФ W (s)

>> [Mag12, Phase12, W] = bode (w, [0.5,1,4,8,17])

Mag12 (:,:, 1) =

12.7870

Mag12 (:,:, 2) =

3.7365

Mag12 (:,:, 3) =

0.6285

Mag12 (:,:, 4) =

0.2531

Mag12 (:,:, 5) =

0.0974

Phase12 (:,:, 1) =

-146.7687

Phase12 (:,:, 2) =

-139.8197

Phase12 (:,:, 3) =

-141.4908

Phase12 (:,:, 4) =

-167.2469

Phase12 (:,:, 5) =

-214.7002

W =

0.5000

1.0000

4.0000

8.0000

17.0000

!! Завдання 3.12. Побудуйте таблицю значень амплітуди і фази від частоти для розімкнутої дискретної системи з ПФ D (z).

Дуже часто потрібно визначати запаси стійкості системи по амплітуді (модулю) і фазі. З теорії автоматичного управління відомо, що запас стійкості по модулю дорівнює значенню амплітудної частотної характеристики (АЧХ) на частоті Wc, при якій фазова частотна характеристика (ФЧХ) має значення -1800, А запас по фазі - значення різниці між ФЧХ і - 1800 на частоті зрізу Wcр. Для визначення цих параметрів використовується функція margin:

margin (sys)

[Gm, Pm, Wc, Wcp] = margin (sys)

Тут sys - безперервна або дискретна lti-модель;

Gm - запас по модулю на частоті Wc;

Pm - запас по фазі на частоті зрізу Wcp.

Команда margin (sys) будує діаграму Боде із зазначенням запасів стійкості, а функція [Gm, Pm, Wc, Wcp] = margin (sys) розраховує значення Gm, Pm, Wc і Wcp без побудови логарифмічних частотних характеристик.

Приклад 3.13.Визначення запасів стійкості безперервної системи з ПФ розімкнутої системи W (s) (рис.3.5).

>> Margin (w)

 
 


Мал. 3.5. Діаграма Боде, побудована за допомогою функцій margin

!! Завдання 3.13. Розрахуйте значення запасів стійкості по модулю і фазі дискретної системи з ПФ розімкнутої системи D (z) без побудови ЛЧХ.

При проектуванні САУ часто використовується показник колебательности, який визначається у вигляді відношення максимального значення модуля частотної характеристики замкнутої системи до його величини на нульовій частоті (коефіцієнту передачі системи).

Максимальне значення модуля частотної характеристики пов'язано з нормою типу :

для безперервних систем співвідношенням

для дискретних систем - співвідношенням

У зв'язку з цим була складена і включена в пакет Control System Toolbox функція normв наступних формах:

normsys = norm (sys, inf)

normsys = norm (sys, inf, tol)

[Ninf, fpeak] = norm (sys, inf),

де normsys - максимальне значення АЧХ lti-моделі sys;

inf - ідентифікатор норми ;

tol - точність розрахунку норми (за замовчуванням tol = 1е-2);

ninf - максимальне значення модуля приватної характеристики на частоті fpeak.

При цьому, якщо об'єкт sys має астатизм, то максимальне значення модуля АЧХ одно нескінченності.

Приклад 3.14.Розрахунок максимального значення АЧХ динамічної системи з ПФ замкнутої системи ф (s).

>> [Am, Fm] = norm (f, inf)

Am =

13.7209

Fm =

1.7976

!! Завдання 3.14. Визначте значення показника колебательности дискретної САУ з ПФ замкнутої системи т (z), з огляду на, що її коефіцієнт передачі дорівнює одиниці.

 



Динамічні параметри lti-моделей | тимчасові характеристики
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати