На головну

У равнобокой трапеції пряма, що проходить через середини підстав, перпендикулярна підставах і проходить через точку перетину діагоналей.

  1. B - Відшкодування доведеться вимагати через суд;
  2. Quot; Кохана, я дивився, як ти спиш, ти така солодка і ніжна і МОЯ! Я люблю тебе! Доброго ранку! P.S. Пішов через вікно, щоб не хвилювати батьків ".
  3. Алгоритм подачі кисню через носовий катетер
  4. Антилопи гну на переправі через річку
  5. Бари з однаковими вершинами (TBH) або підставами (TBL) в принципі теж що і 1-2-3.
  6. У будь-трапеції середини підстав, точка перетину діагоналей і точка перетину прямих, на яких лежать бічні сторони, лежать на одній прямій.
  7. В основу методу покладена формула Пуазейля для закінчення реальних рідин через капіляри

Доведення

З 14.2 випливає, що пряма, яка проходить через середини підстав проходить через точку перетину діагоналей, а отже, відрізки OM і ON є медианами рівнобедрених трикутників, а значить і висотами.

14.6 *. У равнобокой трапеції більший з відрізків, на які висота трапеції, проведена з вершини, ділить більшу основу трапеції дорівнює середньою лінією трапеції.

Дано: ABCD - трапеція, AD = CB,

Довести: MB = ? (CD + AB)

Доведення

Зауважимо, що AM = NB = (AB-CD) / 2, тоді MB = MN + ND = DC + (AB-CD) / 2 = ? (CD + AB). Доказ закінчено.

14.7 *. Кут, під яким з центру вписаною в трапецію кола видна її бічна сторона, дорівнює 90?.

Дано: ABCD - трапеція, точка O - центр вписаного в трапецію кола.

Довести:

Доведення

Так як точка O рівновіддалена від сторін трапеції, то промені DO і AO - бісектриси кутів A і D трапеції.

Так як сума цих кутів дорівнює 180?, то полусумма - 90? =

14.9. * 8 Довжина відрізка, паралельного підстав трапеції, проходить через точку перетину діагоналей трапеції, укладеного між бічними сторонами, дорівнює середньому гармонійному підстав трапеції, т. Е.

Дано: ABCD - трапеція, MN || AB,

O

DC = b, AB = a.

Довести: MN =

Доведення

MN = MO + ON. З подоби трикутників MDO і ADB отримаємо  , По властивості 14.1  , тоді

 , Звідки MO =  . Аналогічно до попереднього, NO =  . Тоді MN =  Доказів закінчено.

14.10. * * Відрізок, паралельний підстав трапеції, який ділить трапецію на дві рівновеликих, дорівнює середньому квадратичному підстав трапеції.

Дано: ABCD - трапеція, MN || AB,

DC = b, AB = a, S MDCN = SAMNB

Довести: MN =

Доведення

S MDCN = SABCD. З подоби трикутників MDL і ADF (DF || CB) .  , a2 - b 2 = 2 (MN2 - b2 ),

2MN2 = a2+ b2 , MN =  , що й потрібно було довести.

14.11 * *. Відрізок, паралельний підстав трапеції, який ділить трапецію на дві подібні, дорівнює середньому геометричному підстав трапеції.

 Дано: ABCD - трапеція, MN || AB,

DC = b, AB = a, трапеції NMDC і BAMN подібні.

Довести: MN =

Доведення

Сторони подібних багатокутників пропорційні, тому ,

MN =  , що й потрібно було довести.

14.12. * Якщо бісектриса тупого кута трапеції перетинає підставу трапеції, то вона відсікає від трапеції трикутник.

Доведення

Кут CBK дорівнює ABK за умовою, а по властивості 10.12 він дорівнює куту BKA. З рівності кутів ABK і BKA слід, що трикутник ABK рівнобедрений.

15.6 *. Довжина загальної зовнішньої дотичній двох стосуються кіл дорівнює  , Де r і R - радіуси цих кіл.

Дано: (O; R), (S; r)

MN- загальна дотична двох стосуються кіл.

Довести: MN = ,

Доведення

Проведемо SK || MN. Так як OM | MN, SN | MN, (властивість 15.9), то MN = KS,

KM = SN = r, OK = R- r, OS = R + r властивість 15.3. З прямокутного трикутника OKS знайдемо KS, KS2 = (R + r)2 - (R- r)2 = 4Rr, значить MN =  , що й потрібно було довести.

15.7 *. Якщо кут між зовнішніми дотичними до двох стосуються колах дорівнює 60?, то ставлення їх радіусів дорівнює 3. Справедливо і зворотне: якщо відношення двох зовні стосуються кіл дорівнює 3, то кут між зовнішніми дотичними дорівнює 60?.

 Дано:

Довести: R = 3r

Доведення

По властивості 15.9 кут CBO дорівнює 30?. Тоді (властивість 4.20) BS = 2r, BO = 2R. SO = r + R (15.4), тоді

2R = 2r + r + R, тоді R = 3r.

Дано: Вписані в кут BCA кола (O; R), (S; r) стосуються, R = 3r

Довести:

Доведення

Так як SO = 4R, то з подібності трикутників BSK і BOS отримаємо  , Звідки BS = 2r. У трикутнику BKS KS = r, BS = 2r, тоді (4.20) CBO дорівнює 30?. По властивості 15.9 кут CBA дорівнює 60?. Доказ закінчено.

15.8 *. кут між хордами зовні стосуються кіл проведеними з їх точки дотику в точки дотику з їх зовнішньої дотичній - прямий.

 Дано: Кола (O; R), (S; r) стосуються в точці L. KC - зовнішня дотична.

Довести:

Доведення

Позначимо кут KSL через ?, тоді

(KS || OC).

15.14 *. Якщо з точки М до кола проведені дотична і січна, то квадрат відрізка дотичної від точки М до точки дотику дорівнює добутку довжин відрізків січної від точки М до точок її перетину з колом.

Дано: AB - дотична до кола, AC - січна.

Довести: AB2 = AC · AD

Доведення

Трикутники ABC і ADB подібні (

З подоби цих трикутників отримаємо пропорційність сторін  , Звідси отримуємо

AB2 = AC · AD. доказ закінчено

15.15 *. Якщо з однієї точки до кола проведено дві січні, то твори січних на їх відповідні зовнішні частини рівні.

Доказ випливає з 15.14, так як твори січних на їх відповідні зовнішні частини рівні квадрату дотичній, проведеної з цієї точки.

16.4 *. градусна міра кута, утвореного хордою і дотичною, що мають спільну точку на колі, дорівнює половині градусної міри дуги, укладеної між його сторонами.

Дано: AB- дотична до кола з центром O, AC - хорда.

Довести:

Доведення

Проведемо діаметр AO. По властивості 16.1

16.6 *. якщо вершина кута знаходиться поза колом, а сторони перетинають коло, то величина цього кута дорівнює полуразность дуг, укладених між точками перетину сторін кута з окружністю.

дано:

Довести:

 З'єднаємо точки C і B, отримаємо

16.7 *. якщо вершина кута знаходиться всередині кола, а сторони перетинають коло, то величина цього кута дорівнює полусумме дуг, укладених між точками перетину сторін кута з окружністю.

 дано:

Довести:

З'єднаємо точки D і B, отримаємо (властивість 2.3)

= ? (?DC + ?AB), що й треба було довести.

17.2 * Під вписанном чотирикутнику сума творів протилежних сторін дорівнює добутку діагоналей (теорема Птолемея)

Доведення

 Твір діагоналей чотирикутника ABCD дорівнює площі цього чотирикутника S, поділеній на ?sin?AOB. ?AOB = g + d, як зовнішній кут трикутника BOC. Покажемо, що і AB ? CD + AD ? BC = S (?sin (? + d)). сторін Площа чотирикутника ABCD не зміниться, якщо трикутник BCD «перевернути», помінявши місцями вершини B і D

Тоді S = ?AB · CD · sin (? + ?) + ?CB · AD · sin (? + ?). По (17.1) Маємо ? + ? + ? + ? = 180?, звідки випливає,

що sin (? + ?) = sin (? + ?) і AB · CD + CB · AD = AC · BD. доказ закінчено.

17.3 * Якщо близько трапеції описана окружність, то вона рівнобедрена.

Доказ випливає з властивості 17.1:

17.4. * Близько чотирикутника ABCD можна описати коло, тоді і тільки тоді, коли кут ADB дорівнює куту ACB.

 Дано:

Довести: близько чотирикутника ABCD можна описати коло.

Доведення

Припустимо, що точка D лежить поза колом і точка D1 - Точка перетину боку AD з окружністю. По властивості 16.2 1B. за умовою 1B. по властивості 2.4 1B>

18.2 *. якщо в рівнобедрений трапецію вписане коло, то її середня лінія дорівнює бічній стороні.

Доведення

По властивості 18.1 сума підстав трапеції дорівнює сумі бічних сторін, а полусумма, рівна середньої лінії, - бічній стороні.

18.4 *. Якщо в багатокутник з парним числом сторін можна вписати коло, то суми довжин його сторін, взятих через одну, рівні.

Доведення

По властивості 15.9 з кожної вершини багатокутника виходять два рівних відрізка дотичних, один з них увійде в одну з сум, інший - в іншу. Т. обр., Суми довжин його сторін, взятих через одну, рівні.

20.8 * Відрізок прямої від вершини кута трикутника до точки на протилежній стороні ділить площу трикутника на частини, пропорційні відрізках, на які сторона ділиться цієї прямої.

 Дано: ?ABC,

Довести: S ?ABM : S ?ABM = AM: MC.

Доведення

Проведемо висоту BH трикутника ABC. Вона буде заввишки трикутників ABM і CBM. Тому ставлення площ трикутників ABM і CBM дорівнює відношенню сторін, до яких проведена ця висота, т. Е. AM: MC, що й треба було довести.

20.9 * Відношення площ трикутників, що мають загальний кут, дорівнює відношенню творів сторін трикутників, що містять цей кут.

Дано: ?ABC,

Довести: S ?NBM : S ?ABC = BM · BN: BC · BA.

Доведення

S ?NBM = ? BM · BNsin ?ABC = ? BC · BAsin

S ?NBM : S ?ABC = BM · BN: BC · BA, що й треба було довести.

20.10 * * Площа трикутника дорівнює добутку напівпериметр ортоцентрического трикутника і радіусу описаного кола.

Дано: ?MND- ортоцентрический трикутник для трикутника ABC.

Точка O - центр описаного кола навколо трикутника ABC.

OC = R

Довести: S ?ABC = R · p?MND

Доведення

Площа трикутника ABC дорівнює сумі площ чотирикутників MONC, ONBD, MODA.

По властивості 6.7 відрізки OC, OB, OA перпендикулярні до сторін MN, ND, MD відповідно. По властивості 20.23 площа кожного з цих чотирикутників дорівнює половині твір діагоналей.

Тому S ?ABC = ? (MN · CO + DN · BO + MD · AO) =

1 / 2R (MN + DN + MD) = = R · p?MND , що й потрібно було довести.

2014 *. площа трапеції дорівнює добутку збоку і відрізка перпендикуляра, проведеного до цієї стороні з середини іншої бічної сторони.

Дано: ABCD - трапеція, AD = DM, .

Довести: S ABCD = CB · NM.

Доведення:

 Проведемо через точку М пряму, паралельну CB, отримаємо CBKL - паралелограм. Зауважимо, що площа цього паралелограма дорівнює площі даної трапеції. (?AMK = ?DML). Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони CB і висоти NM, проведеної до цієї сторони. Отже, S ABCD = CB · NM, що й треба було довести.

2015. * Площа рівнобедреної трапеції з перпендикулярними діагоналями дорівнює квадрату її висоти.

Дано: ABCD - трапеція, AB = DC, , .

Довести: S ABCD = NM 2 .

Доведення

Зауважимо, що трикутники BCO і AOD прямокутні і рівнобедрені, а відрізки OM і ON їх відповідні висоти, проведені до гіпотенузи. Тому OM = ? BC, ON = ?AD, NM = ? BC + ?AD = ? (AD + BC). Тому

S ABCD = ? (AD + BC) MN = NM 2, що й потрібно було довести.

2016. * Площі двох трикутників, утворених діагоналями трапеції прилеглих до її бічних сторонах, рівні.

Дано: ABCD - трапеція

Довести: S ABO = S DCO

Доведення

S ABO = S ABD - S ADO , S DCO = S ACD - S ADO , S ABD = S ACD (Ці трикутники мають загальну підставу і рівні висоти), тоді S ABO = S DCO.


 



У будь-трапеції середини підстав, точка перетину діагоналей і точка перетину прямих, на яких лежать бічні сторони, лежать на одній прямій. | Реєстр кращих дипломних / наукових студентських робіт

У равнобедренном прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи дорівнює 8 см. Знайдіть площу цього трикутника. | Периметр трикутника, який відсікається від даного дотичній до | Перетину діагоналей. | теорема | Справедлива і зворотна теорема. | Доведення | Зворотній теорема. | Периметр трикутника, який відсікається від даного, дотичній до вписаною в трикутник кола, дорівнює подвоєному відрізку сторони від вершини трикутника до точки дотику, |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати