Головна

Методи докази існування циклу

  1. Dasein-аналіз Л. Бінсвангера. Структура існування: буття-в-світі, буття-за-межами-світу.
  2. I. Методи суворо регламентованого вправи.
  3. II Общепедагогические методи.
  4. II. Методи виховання фізичних якостей.
  5. II. МЕТОДИ ЧАСТКОВО регламентовані вправи
  6. II. МЕТОДИ, ПІДХОДИ І ПРОЦЕДУРИ ДІАГНОСТИКИ І ЛІКУВАННЯ
  7. III.2. Види, форми і методи педагогічної діагностики

Розглянемо систему

 . (6.1)

Будемо вважати, що для цієї системи всюди в  виконані умови теореми існування і єдиності рішення і має місце безперервна залежність рішень від початкових даних. Всі ці умови, наприклад, виконані, якщо права частина системи є диференційована функція всюди в .

принцип кільця

 Нехай на площині є замкнута кільцеподібна область, обмежена двома замкнутими гладкими кривими g1 и g2 (g1 и g2 не є траєкторіями системи (6.1)), така, що все траєкторії системи (6.1) входять усередину цієї області з ростом t і в подальшому не залишають її (або входять в цю область при убуванні t і не залишають її при  ). Така область називається позитивно (негативно) інваріантної для траєкторій системи (рис. 6.1).

Лемма 6.1.Якщо всередині позитивно (негативно) інваріантної для траєкторій системи (6.1) області немає станів рівноваги системи, то в цій області міститься принаймні один цикл системи (6.1).


Існування циклів у систем з єдиним положенням
 рівноваги

Теорема 6.1.Якщо всі власні значення матриці Якобі  системи (6.1) при  мають позитивні речові частини і система ДИСИПАТИВНИХ, то вона має принаймні один цикл.

критерії дИСИПАТИВНИХ

Теорема 6.2.система  з гурвіцевой матрицею А і обмеженою функцією  ДИСИПАТИВНИХ по Левинсону.

Теорема 6.3.нехай  обмежений при всіх  і матриця A гурвіцева. тоді система (  - Скалярна функція змінної ,  і з - n-вектори.) ДИСИПАТИВНИХ.

Теорема 6.3. Нехай на безлічі  визначена неотрицательная диференціюється функція  , Що володіє наступними властивостями:

1) ,

2)  при ,

3) серед рішень  системи (2.7.8) не існує таких, для яких  при .

Тоді система (6.1) ДИСИПАТИВНИХ.

Проілюструємо на прикладах застосування леми 6.1 і теореми 6.1 для доказу існування циклів.

Приклад 1.Довести, що система

 (6.2)

має цикл.

Покажемо, що система (6.2) має єдиний стан рівноваги :

Розглянемо функцію  . Її похідна в силу системи (6.2) має вигляд  . Розглянемо дві концентричні кола и  . На першій з них виконана умова  , А на другий  . Тому траєкторії системи перетинають першу окружність за напрямом «до центру», а другу - за напрямом «від центру».

Значить, в фазовому просторі даної системи є негативно інваріантне кільце (рис. 6.1), в якому немає точок спокою системи. Згідно лемі 6.1, така система має цикл.

На наведеному нижче рис. 6.1. зображений цикл системи (6.2), знайдений шляхом чисельного інтегрування, а також траєкторії, навивати на цей цикл при  зсередини і зовні.

Мал. 6.2. Чисельне інтегрування системи (6.2)

Приклад 2.Довести, що рівняння  має цикл.

Рішення:

Запишемо дане рівняння у вигляді еквівалентної системи в  , Зробивши заміну :

 (6.3)

Покажемо, що система (6.3) має єдине нестійкий стан рівноваги :

Складемо якобіан системи і знайдемо його значення в точці .

Складемо характеристичне рівняння системи:

Обидва кореня характеристичного рівняння мають позитивні речові частини.

Значить, система (6.3) має єдине нестійкий стан рівноваги .

Доведемо, що система ДИСИПАТИВНИХ.

Очевидно, що систему можна записати у вигляді  , де .

, , , .

Характеристичний поліном лінійної частини системи  Гурвіц.

Доведемо обмеженість інтеграла .

інтеграл  сходиться, так як виконана умова .

Значить, система (6.3) ДИСИПАТИВНИХ відповідно до теореми 6.3.

Таким чином, по теоремі 6.1 система (6.4) принаймні один цикл.

На рис. 6.3 представлені результати чисельного інтегрування системи (6.3).

Мал. 6.3. Чисельне інтегрування системи (6.3)

Приклад 3.Довести, що система

(6.4)

має цикл.

Рішення:

Покажемо, що система (6.4) має єдине нестійкий стан рівноваги :

Складемо якобіан системи і знайдемо його значення в точці .

Складемо характеристичне рівняння системи:

Обидва кореня характеристичного рівняння мають позитивні речові частини.

Значить, система має єдине нестійкий стан рівноваги .

Доведемо, що система ДИСИПАТИВНИХ.

Система має вигляд  . матриця A для даної системи має вигляд  . Її характеристичний поліном  Гурвіц, а функція  обмежена.

Значить, система ДИСИПАТИВНИХ відповідно до теореми 6.2.

Таким чином, всі власні значення матриці Якобі  системи в точці  мають позитивні речові частини і система ДИСИПАТИВНИХ, отже, вона має принаймні один цикл.

На рис. 6.4 представлені результати чисельного інтегрування системи (6.4).

Мал. 6.4. Чисельне інтегрування системи (6.4)

завдання 5 | Метод Пуанкаре в теорії нелінійних коливань.


Вступ | Дослідження положень рівноваги нелінійної системи другого порядку | Похідна в силу системи. перші інтеграли | Диференціальні рівняння з приватними похідними першого порядку | завдання 3 | Дослідження стійкості другим методом Ляпунова | Дослідження на стійкість за першим наближенням | Приклад 5.1. | Приклад 5.2. | Приклад 5.3. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати