Головна |
нехай функція задана на відрізку і цей відрізок розбитий на п рівних частин точками , ,де
Тоді наближене значення певного інтеграла від функції на може бути знайдено за формулою трапецій:
. (11.27)
похибка від застосування формули трапецій оцінюється за формулою:
, (11.28)
де - Максимальне значення модуля другої похідної функції на відрізку , Т. Е.
.
11.91. обчислити за формулою трапецій з точністю до 0,01.
Рішення. Відомо що k-а похідна функції може бути представлена ??у вигляді: , де .
Так як при будь-якому аргументі ?, то
.
тоді і (див.(11.28))
.
з умови знаходимо , Т. Е. Для досягнення необхідної точності у формулі (11.27)досить покласти n= 5. тоді . відповідно, , ,
.
Представляємо тепер ці значення в (11.27),і остаточно отримуємо:
.
За формулою Ньютона-Лейбніца , Тому застосування формули трапецій для даного визначеного інтеграла дозволяє, зокрема, обчислити число ? з необхідною точністю.
11.92. обчислити з точністю до 0,01.
вказівка: скористатися рівністю і формулою трапецій.
11.93. Обчислити за формулою трапецій для інтеграл . Знайти значення похибки отриманого результату.
11.94. Обчислити за формулою трапецій для п = 8 інтеграл . Знайти значення похибки отриманого результату.
11.95. При якому значенні п слід застосувати формулу трапецій для обчислення інтеграла з точністю до 0,001?
11.5. Використання поняття визначеного інтеграла в економіці
нехай функція описує зміна продуктивності деякого виробництва з плином часу. Тоді обсяг продукції виробленої за проміжок часу обчислюється за такою формулою:
(11.29)
11.96. Зміна продуктивності виробництва з протягом часу від початку впровадження нового технологічного процесу задається функцією , де - час в місяцях. Знайти обсяг продукції, виробленої: а) за перший місяць; б) за третій місяць; в) за шостий місяць; г) за останній місяць року, рахуючи від початку впровадження даного технологічного процесу.
Рішення. За формулою(11.29), отримуємо:
.
тоді: ; ;
;
.
Порівнюючи між собою отримані результати, можна помітити, що основна робота по впровадженню даного технологічного процесу доводиться, в основному, на першу половину року.
Можливість врахування впливу різних чинників на зміну продуктивності виробництва пов'язана з використанням, наприклад, так званих функцій Кобба-Дугласа. У цьому випадку продуктивність представляється у вигляді добутку трьох співмножників:
,
де функції є величини витрат природних ресурсів праці і капіталу (відповідно), - Деякі числа.
11.97. Знайти обсяг продукції, що випускається за п'ять років, якщо в функції Кобба-Дугласа , (T - час в роках).
Рішення. Підставляючи функцію продуктивності вформулу(11.29), отримуємо:
.
Застосовуючи двічі послідовно формулу інтегрування частинами(11.13), маємо:
.
Розглянемо функцію характеризує нерівномірність розподілу доходів серед населення, де у - частка сукупного доходу, отримуваного часткою х найбіднішого населення. Графік цієї функції називається кривої Лоренца (Мал.11.17). Очевидно, що при , І нерівномірність розподілу доходів тим більше, чим більше площа фігури ОАВ (Див. Рис.11.17). Тому в якості запобіжного зазначеної нерівномірності використовують так
Мал. 11.17званий коефіцієнт Джині k, Рівний відношенню площі фігури ОАВ до площі трикутника ОА С.
11.98. За даними досліджень про розподіл доходів в однієї з країн крива Лоренца може бути описана рівнянням , де . Обчислити коефіцієнт Джині k.
Рішення. За формулою(11.16) отримуємо
тоді
.
нехай - Крива попиту D на деякий товар і - крива пропозиції S, де p - ціна натовар, х - величина попиту (пропозиції). позначимо через точку ринкової рівноваги (див.11.18).
Дохід від реалізації кількості товару рівноважної ціною дорівнює добутку . якщо припускати безперервне зниження ціни від максимальної до рівноважної у міру задоволення попиту, то дохід складе . Величина грошових коштів зберігається споживачами, якщо припускати продаж товару по рівноважної ціною тому С називається також виграшем споживачів.
аналогічно, називається виграшем постачальників.
величини С и Р чисельно рівні площам відповідних криволінійних трикутників (рис.11.18).
11.99. Знайти виграші споживачів і постачальників в реченні встановлення ринкової рівноваги, якщо закони попиту іпропозиції мають вигляд:
.
Рішення. вирішуючи систему
знайдемо точку ринкової рівноваги: .
тоді .
(Ден. Од.)
11.100. Визначити обсяг випуску продукції за перші п'ять годин роботи при продуктивності , де t- Час в годинах.
11.101. Знайти обсяг продукції, випущеної підприємство за рік (258 робочих днів), якщо щоденна продуктивність цього підприємства задана функцією
, де , t - Час в годинах.
11.102. При безперервному виробництві хімічного волокна продуктивність (Т / год) зростає з моменту запуску 10 годин, а потім залишається постійною. Скільки волокна дає апарат в першу добу після запуску, якщо при .
11.103. Знайти обсяг випуску продукції за чотири роки, якщо в функції Кобба-Дугласа .
11.104. Криві Лоренца перерозподіл доходів на користь деяких країнах можуть бути задані рівняннями: а) ; б) ; в) .
Яку частину доходу отримують 10% найбільш низькооплачуваної населення? Обчислити коефіцієнти Джині для цих країн.
11.105. Рівняння попиту на деякий товар має вигляд .
Знайти виграш споживачів, якщо рівноважна ціна дорівнює 70.
11.106. Рівняння попиту на деякий товар має вигляд .
Знайти виграш споживачів, якщо рівноважна кількість товару дорівнює 10.
11.107. Знайти виграш споживачів і постачальників товару, закони попиту і пропозиції на який мають такий вигляд:
а) , ; б) , .
Коротка теорія | Східні слов'яни.
Коротка теорія | Рішення. | Коротка теорія | Властивості невизначеного інтеграла. | Інтегрування розкладом. | Коротка теорія | Площі плоских фігур | Довжина дуги кривої | Об'єми тіл обертання | Коротка теорія |