Головна

Коротка теорія

  1. Die Verbandstheоrie- теорія структур
  2. I. Загальна теорія статистики
  3. I.2. Монополія і конкуренція. Теорія монополістичної конкуренції.
  4. Nbsp; ХВИЛЬОВА ТЕОРІЯ Елліот
  5. Автохтонна »(слов'янська) теорія виникнення держави на Русі.
  6. Аксіоматична теорія натуральних чисел.
  7. Аристотель: вчення про 4-х причини і теорія пізнання

нехай функція  задана на відрізку  і цей відрізок розбитий на п рівних частин точками , ,де

Тоді наближене значення певного інтеграла від функції  на  може бути знайдено за формулою трапецій:

. (11.27)

похибка  від застосування формули трапецій оцінюється за формулою:

, (11.28)

де  - Максимальне значення модуля другої похідної функції  на відрізку  , Т. Е.

.

11.91. обчислити  за формулою трапецій з точністю до 0,01.

Рішення. Відомо що k-а похідна функції  може бути представлена ??у вигляді:  , де .

Так як  при будь-якому аргументі ?, то

.

тоді  і (див.(11.28))

.

з умови  знаходимо  , Т. Е. Для досягнення необхідної точності у формулі (11.27)досить покласти n= 5. тоді  . відповідно, , ,

.

Представляємо тепер ці значення в (11.27),і остаточно отримуємо:

.

За формулою Ньютона-Лейбніца  , Тому застосування формули трапецій для даного визначеного інтеграла дозволяє, зокрема, обчислити число ? з необхідною точністю.

11.92. обчислити  з точністю до 0,01.

вказівка: скористатися рівністю  і формулою трапецій.

11.93. Обчислити за формулою трапецій для  інтеграл  . Знайти значення похибки отриманого результату.

11.94. Обчислити за формулою трапецій для п = 8 інтеграл  . Знайти значення похибки отриманого результату.

11.95. При якому значенні п слід застосувати формулу трапецій для обчислення інтеграла  з точністю до 0,001?

11.5. Використання поняття визначеного інтеграла в економіці

нехай функція  описує зміна продуктивності деякого виробництва з плином часу. Тоді обсяг продукції  виробленої за проміжок часу  обчислюється за такою формулою:

(11.29)

11.96. Зміна продуктивності виробництва з протягом часу від початку впровадження нового технологічного процесу задається функцією  , де - час в місяцях. Знайти обсяг продукції, виробленої: а) за перший місяць; б) за третій місяць; в) за шостий місяць; г) за останній місяць року, рахуючи від початку впровадження даного технологічного процесу.

Рішення. За формулою(11.29), отримуємо:

.

тоді: ; ;

;

.

Порівнюючи між собою отримані результати, можна помітити, що основна робота по впровадженню даного технологічного процесу доводиться, в основному, на першу половину року.

Можливість врахування впливу різних чинників на зміну продуктивності виробництва пов'язана з використанням, наприклад, так званих функцій Кобба-Дугласа. У цьому випадку продуктивність  представляється у вигляді добутку трьох співмножників:

,

де функції  є величини витрат природних ресурсів праці і капіталу (відповідно),  - Деякі числа.

11.97. Знайти обсяг продукції, що випускається за п'ять років, якщо в функції Кобба-Дугласа  , (T - час в роках).

Рішення. Підставляючи функцію продуктивності  вформулу(11.29), отримуємо:

.

Застосовуючи двічі послідовно формулу інтегрування частинами(11.13), маємо:

.

 Розглянемо функцію  характеризує нерівномірність розподілу доходів серед населення, де у - частка сукупного доходу, отримуваного часткою х найбіднішого населення. Графік цієї функції називається кривої Лоренца (Мал.11.17). Очевидно, що  при  , І нерівномірність розподілу доходів тим більше, чим більше площа фігури ОАВ (Див. Рис.11.17). Тому в якості запобіжного зазначеної нерівномірності використовують так

Мал. 11.17званий коефіцієнт Джині k, Рівний відношенню площі фігури ОАВ до площі трикутника ОА С.

11.98. За даними досліджень про розподіл доходів в однієї з країн крива Лоренца може бути описана рівнянням  , де  . Обчислити коефіцієнт Джині k.

Рішення. За формулою(11.16) отримуємо

тоді

.

 нехай  - Крива попиту D на деякий товар і - крива пропозиції S, де p - ціна натовар, х - величина попиту (пропозиції). позначимо через точку ринкової рівноваги (див.11.18).

Дохід від реалізації кількості товару  рівноважної ціною  дорівнює добутку  . якщо припускати безперервне зниження ціни від максимальної  до рівноважної  у міру задоволення попиту, то дохід складе  . Величина грошових коштів  зберігається споживачами, якщо припускати продаж товару по рівноважної ціною  тому С називається також виграшем споживачів.

аналогічно,  називається виграшем постачальників.

величини С и Р чисельно рівні площам відповідних криволінійних трикутників (рис.11.18).

11.99. Знайти виграші споживачів і постачальників в реченні встановлення ринкової рівноваги, якщо закони попиту іпропозиції мають вигляд:

.

Рішення. вирішуючи систему

знайдемо точку ринкової рівноваги: .

тоді .

 (Ден. Од.)

11.100. Визначити обсяг випуску продукції за перші п'ять годин роботи при продуктивності  , де t- Час в годинах.

11.101. Знайти обсяг продукції, випущеної підприємство за рік (258 робочих днів), якщо щоденна продуктивність цього підприємства задана функцією

 , де , t - Час в годинах.

11.102. При безперервному виробництві хімічного волокна продуктивність  (Т / год) зростає з моменту запуску 10 годин, а потім залишається постійною. Скільки волокна дає апарат в першу добу після запуску, якщо  при .

11.103. Знайти обсяг випуску продукції за чотири роки, якщо в функції Кобба-Дугласа .

11.104. Криві Лоренца перерозподіл доходів на користь деяких країнах можуть бути задані рівняннями: а) ; б) ; в) .

Яку частину доходу отримують 10% найбільш низькооплачуваної населення? Обчислити коефіцієнти Джині для цих країн.

11.105. Рівняння попиту на деякий товар має вигляд .

Знайти виграш споживачів, якщо рівноважна ціна дорівнює 70.

11.106. Рівняння попиту на деякий товар має вигляд .

Знайти виграш споживачів, якщо рівноважна кількість товару дорівнює 10.

11.107. Знайти виграш споживачів і постачальників товару, закони попиту і пропозиції на який мають такий вигляд:

а) , ; б) , .

Коротка теорія | Східні слов'яни.


Коротка теорія | Рішення. | Коротка теорія | Властивості невизначеного інтеграла. | Інтегрування розкладом. | Коротка теорія | Площі плоских фігур | Довжина дуги кривої | Об'єми тіл обертання | Коротка теорія |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати