На головну

Рішення систем лінійних рівнянь

  1. CAD-системи
  2. D.3. Системи економетричних рівнянь
  3. Google_protectAndRun ( "render_ads.js :: google_render_ad", google_handleError, google_render_ad); Житлові будинки з каркасними безрігельной системами
  4. Grid-системи
  5. HLA - система; класи антигенів, біологічні функції, практичне значення HLA-типування.
  6. I'a-чштіе школи і становлення шкільної системи
  7. I. Визначення рівнянь лінійної регресії

Розглянемо систему  лінійних рівнянь з  невідомими

 (7)

Нехай ранг матриці коефіцієнтів  дорівнює  . Перепишемо рівняння системи (7) в формі нуль-рівностей

і отриману систему запишемо в жорданову таблицю (таблиця 4).

Таблиця 4.

  1  ...
 ...
 ...  ...  ...  ...  ...
 ...

Над таблицею 4 можна зробити лише  послідовних Жорданових винятків. В результаті вийде, наприклад, таблиця 5.

Таблиця 5.

  1  ...  ...
 ...  ...
 ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...
 ...  ...
 ...  ...
 ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...
 ...  ...

Система (7) сумісна тоді і тільки тоді, коли для деякої сукупності значень  виконуються одночасно всі рівності (7). Це можливо в тому і тільки в тому випадку, якщо в таблиці 5

 = ... = = .

Якщо хоча б один з вільних членів  , ...,  відмінний від нуля, то система (7) несовместна.

У разі спільності системи з таблиці 5 отримуємо загальне рішення системи (7):

 (8)

При вирішенні завдань стовпці під перекинутими в верхню частину таблиці нулями (а такими стовпцями є дозволяють) опускають через непотрібність.

Надаючи в равенствах (8) змінним  довільні числові значення  , Обчислюють відповідні значення інших невідомих:

і тим самим отримують приватне рішення  системи (7). Таким шляхом можна знайти безліч рішень системи (7).

В окремому випадку, коли  , через  кроків Жорданових винятків всі змінні  виявляться в лівому заголовному стовпці таблиці 5, а їх місце нагорі таблиці займуть нулі, тому система (7) матиме єдине рішення: .

Отже, для вирішення системи лінійних рівнянь її треба записати у формі жорданової таблиці і виконати можливе число кроків Жорданових винятків, викреслюючи після кожного кроку дозволяє стовпець і рядки, якщо вони цілком складаються з нульових елементів. Якщо в ході винятків з'явиться рядок, всі елементи якої, крім вільного члена, дорівнюють нулю, то дана система несумісна. В іншому випадку система сумісна. При цьому вона має безліч рішень, якщо у верхній заголовної рядку останньої жорданової таблиці залишиться хоча б одна змінна, і єдине рішення, якщо всі змінні виявляться в лівому заголовному стовпці.

Приклад 1. Знайти рішення системи:

Рішення: Запишемо систему у вигляді жорданової таблиці і зробимо два кроки Жорданових винятків (табл.6-8).

Таблиця 6.

 
 0 =  -3  1 2 1 -6
 0 = 1 1 1 -4
 0 =  1 0 1 -2
     
 Таблиця 7.    
 
 0 =  -3  -1 -1 2
x2 =  1 + 1 -4
 0 = 1 1 -2
 Таблиця 8.    
 
 0 =  0 0
x2 =  -3  0 -2
x1 =  1 -2

При практичному вирішенні завдань стовпці під перекинутими наверх таблиці нулями (і такими стовпцями є дозволяють) опускають через непотрібність.

З таблиці 8 випишемо спільне рішення системи:

де х3 і х4 можуть приймати будь-які значення.

 



Звичайні і модифіковані жорданову виключення | Базисні та опорні рішення системи лінійних рівнянь

Денної та заочної форм навчання | Основна ідея і алгоритм симплексного методу | Й випадок. Система обмежень має кращий вигляд. | й випадок. ЗЛП представлена ??в симетричної формі запису. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати