На головну

Але що ж назвати ризиком всієї гри?

  1. Питання. Методи управління валютним ризиком
  2. Сповіді, що переслідують ці та подібні до них цілі, умовно можна назвати соціально-педагогічними.
  3. Процедура визначення ризику. Концепції прийнятного ризику. Управління ризиком.
  4. Управління фінансовим ризиком
  5. Ефективність ринку і співвідношення між ризиком і прибутковістю

Обчислимо дисперсію виграшу Першого при оптимальних стратегіях гравців.

.

Так як  , А через  сума позначена .

Зауважимо, що в сумі  можна залишити лише ті складові, у яких

Зауважимо тепер, що якщо Перший грає зі стратегією  , А Другий відповідає  -й чистої стратегією, то виграш першого є с.в. з рядом розподілу:

   ...      ...  
     ...      ...  
 якщо  є оптимальна стратегія Першого, а  , То з теорії матричних ігор з нульовою сумою відомо, що виграш Першого при таких стратегіях як і раніше дорівнює ціні гри  , А дисперсія виграшу Першого при цьому дорівнює  , Тобто дорівнює  . Таким чином, що відбувається з ризиком виграшу Першого, можна зрозуміти, порівнявши дисперсію при оптимальних стратегіях  і дисперсію  або величини и  . нехай  Як легко зрозуміти, якщо серед  є різні числа, то

Тепер можна зробити наступний висновок:

Чуть-чуть відійшовши від своєї оптимальної стратегії (дивіться нижче Приклад) і таким чином майже не зменшивши свій виграш, Перший може значно зменшити свій ризик. При цьому зменшується і ризик Другого, що відповідає і його інтересам.

Чисто математично можна сказати, що в описаній ситуації ризик виграшу Першого не залежить від його стратегії безперервно.

Розглянемо докладно приклад матричної гри з матрицею  . Як відомо, загальний випадок в околиці оптимальних стратегій гравців зводиться до аналізу такої гри.

Приклад. Нехай матриця гри є  . Графічне розв'язання цієї гри показано на малюнку 1.

       
 
 
   
 Мал. 2


Ціна гри  , Оптимальні стратегії гравців є ,  . Дисперсія виграшу Першого при оптимальних стратегіях  , Т. Е. Ризик гри дорівнює приблизно 1. Далі обчислення дають , ; ,  Орієнтовна, але досить точна залежність ризику Першого в малій околиці його оптимальної стратегії показана на рис. 2.

 
 


 Як видно з рис. 2 при відході Першого від своєї оптимальної стратегії вправо, т. Е. При збільшенні ймовірності x вибору їм 1-го рядка. Другий починає відповідати 1-й чистої стратегією і ризик Першого стрибком збільшується до  , А при відході Першого від своєї оптимальної стратегії вліво Другий переходить на свою 2-ю чисту стратегію і ризик Першого стрибком знижується до

Аналогічне вірно і щодо Другого. Коротко повторимо. Орієнтовна, але досить точна залежність ризику Другого в малій околиці його оптимальної стратегії показана на рис. 3. Як видно з рис. 3 при відході другого від своєї оптимальної стратегії вправо, т. Е. При збільшенні ймовірності у вибору їм 1-го рядка Перший починає відповідати 2-й чистої стратегією і ризик Другого стрибком зменшується до  , А при відході другого від своєї оптимальної стратегії вліво Перший переходить на свою 1-ю чисту стратегію і ризик Другого стрибком збільшується до

нехай  . Цю величину і можна назвати ризиком всієї гри. Однак грати з таким ризиком можна лише за згодою обох сторін. Для аналізованої гри  і гравці для досягнення такого ризику повинні грати так: Перший грає зі своєю оптимальною стратегією  3,5), а Другий повинен використовувати 2-ю чисту стратегію.

§12. Аналіз дохідності та ризику фінансових операцій

Фінансової називається операція, початковий і кінцевий стани якої мають грошову оцінку і мета проведення якої полягає в максимізації доходу - різниці між кінцевою і початковою оцінками.

Майже завжди фінансові операції проводяться в умовах невизначеності і тому їх результат неможливо передбачити заздалегідь. Тому фінансові операції ризиковані, тобто при їх проведенні можливі як прибуток так і збиток (або не дуже велика прибуток в порівнянні з тією, на що сподівалися проводили цю операцію).

Як оцінити операцію з точки зору її прибутковості і ризику?

Існує кілька різних способів. Найбільш поширеним є уявлення доходу операції як випадкової величини і оцінка ризику операції як середнього квадратичного відхилення цього випадкового доходу.

Розглянемо якусь операцію, дохід якої є випадкова величина Q. Середній очікуваний дохід 'Q - це математичне очікування С.В. Q:  , Де pi є ймовірність отримати дохід qi. А середнє відхилення (СКО)  - Це міра розкиданості можливих значень доходу навколо середнього очікуваного доходу. Цілком розумно вважати s кількісною мірою ризику операції і позначити r. Нагадаємо, що дисперсія

 D [Q] = M [(Q - 'Q)2] = M [Q2] - 'Q2.

Розглянемо чотири операції Q1, Q2, Q3, Q, 4. Знайдемо середні очікувані доходи 'Qi і ризики ri операцій.

Ряди розподілу, середні очікувані доходи і ризики:

Q1 :  'Q1 = 29/6 »4.81 r1 »1.77
     1/2  1/6  1/6  1/6    
               
Q2 :  'Q2 = 25/6 »4.16 r2 »3.57
     1/2  1/6  1/6  1/6    
               
               
Q3 :  'Q3 = 7 r3 »2.30
     1/2  1/6  1/6  1/6    
               
Q4 :  'Q4 = 17/6 »2.81 r4 »2.54
     1/2  1/6  1/6  1/6    

Нагадаємо, як знаходити 'Q і r.

'Q1 = A qipi = 5 * 1/2 + 2 * 1/6 + 8 * 1/6 + 4 * 1/6 = 29/6

j

r1 = M [Q21 ] - (Q1)2; M [Q21] = 25 * 1/2 + 4 * 1/6 + 64 * 1/6 + 16 * 1/6 = 159/6;

Q21 = 841/36; D [Q1] = (159 * 6-841) / 36 = 113/36;

 Нанесемо середні очікувані доходи 'Q і ризики r на площину - дохід відкладаємо по горизонталі, а ризики по вертикалі (див. Рис.):

 'Q
 Отримали 4 точки. Чим правіше точка ( 'Q, r), тим більше дохідна операція, ніж точка вище - тим більше вона ризикова. Значить, потрібно вибирати точку правіше і нижче. Точка ( 'Q ?, r ?) домінує точку (' Q, r) якщо 'Q ? ?'Q і r ? ? r. У нашому випадку 1-я операція домінує 2-ю, 3-я домінує 2-ю і 3-я домінує 4-ю. Але 1-а і 3-я операції непорівнянні - прибутковість 3-й більше, але і ризик її теж більше.

Точка, що не домінованих ніякий інший називається оптимальної по Парето, а безліч всіх таких точок називається безліччю оптимальності по Парето. Легко бачити, що якщо з розглянутих операцій треба вибирати кращу, то її обов'язково треба вибрати з операцій, оптимальних за Парето.

Для знаходження кращої операції іноді застосовують підходящу зважують формулу, яка для пар ( 'Q, r) дає одне число, за яким і визначають кращу операцію. Наприклад, нехай зважує формула є j (Q) = 2 ? Q - r. Тоді отримуємо:

j (Q1) = 2 * 4.81-1.77 = 7.85; j (Q2) = 4.75; j (Q3) = 11.70; j (Q4) = 3.08

Видно, що 3-я операція - найкраща, а 4-я - найгірша.

 §13. Завдання формування оптимального

портфеля цінних паперів.

На фінансовому ринку звертається, як правило, безліч цінних паперів: державні цінні папери, акції приватних фірм, векселі і т.п. Цінний папір засвідчує можливість отримання деякого доходу. У загальному випадку власник отримає певний випадковий дохід.

З характеристик цінних паперів найбільш значимі дві: ефективність і ризикованість. Ефективність E є певний узагальнений показник доходу або прибутку. Будемо вважати E випадковою величиною, її математичне очікування є mЕ.

При дослідженні фінансового ринку дисперсію зазвичай називають варіацією V і ризикованість зазвичай ототожнюється з середнім квадратичним відхиленням. Таким чином, V = D [E] = M [(E- mЕ )2 ] І s = .

Розглянемо загальну задачу розподілу капіталу, який учасник ринку хоче витратити на покупку цінних паперів, з різних видів цінних паперів.

нехай xi - Частка капіталу, витрачена на закупівлю цінних паперів i-го виду. нехай Ei - Ефективність (можна вважати, дохід за певний період часу) цінних паперів i-го виду, що стоять одну грошову одиницю. через Vij будемо позначати ковариацию цінних паперів i-го і j -го видів (або кореляційний момент Kij). нехай mi - Математичне очікування ефективності Ei і si =  , Де Vii - Варіація або дисперсія цієї ефективності Ei . Ризикованість цінних паперів i-го виду ототожнив із середнім квадратичним відхиленням si.

Набір цінних паперів, що знаходяться в учасника ринку, називається його портфелем. Ефективність портфеля (в найпростішому випадку це дохід, принесений цінними паперами портфеля за який-небудь проміжок часу), взагалі кажучи, є випадкова величина, позначимо її через Ep, Тоді очікуване значення цієї ефективності mp = M [Ep] =  . Дисперсія портфеля є D [Ep ] =  . величина  може бути названа ризиком портфеля. Зазвичай D [Ep] Позначається Vp. Отже, ми висловили ефективність і ризик портфеля через ефективності складових його цінних паперів і їх коваріації.

Кожен власник портфеля цінних паперів стикається з дилемою: хочеться мати ефективність побільше, а ризик менше. Однак оскільки "не можна зловити двох зайців відразу", необхідно зробити певний вибір між ефективністю і ризиком.

Математична формалізація завдання формування оптимального

портфеля така:

знайти xi, Які мінімізують варіацію ефективності портфеля

Vp = ,

за умови, що забезпечується задане значення очікуваної

ефективності портфеля mp, Тобто

mp = .

оскільки xi - Частки, то в сумі вони повинні складати одиницю:

 = 1.

 Рішення (оптимальне) цього завдання позначимо *. якщо x*i > 0, то це означає рекомендацію вкласти частку x*i готівкового капіталу в цінні папери i-го виду. Якщо ж x*i <0, то змістовно це означає провести операцію "short sale". Якщо такі операції неможливі, значить необхідно ввести обмеження xi ? 0. Що таке операція "short sale"?

якщо x*i <0, то інвестор, який формує портфель, зобов'язується через якийсь час поставити цінні папери i-го виду (разом з доходом, який вони б принесли їх власнику за цей час). За це зараз він отримує їх грошовий еквівалент. На ці гроші він купує більш прибуткові цінні папери та отримує по них дохід і виявляється у виграші!

Якщо на ринку є безризикові папери (до таких можна з деякою натяжкою віднести державні цінні папери), то рішення задачі про оптимальний портфелі сильно спрощується і набуває чудове нову якість.

нехай m0 - Ефективність безризикових паперів, а x0 - Частка капіталу в них вкладеного. нехай mr - Середня очікувана ефективність і Vr, sr - Варіація (дисперсія), СКО ефективності ризикової частини портфеля, в ризикову частину портфеля вкладено (1-x0) Частина всього капіталу. Тоді очікувана ефективність всього портфеля mp = x0 m0 + (1-x0 ) mr, Варіація портфеля Vp = (1-x0 )2 Vr і ризик портфеля sp = (1-x0 ) sr (Вважається, що безризикові папери некорреліровани з іншими). виключаючи x0, отримаємо

mp = m0 + sp (M -m0 ) / Sr ,

тобто очікувана ефективність портфеля лінійно залежить від його ризику.

Розглянемо задачу про оптимальне портфелі в цьому випадку. Ризикові види цінних паперів будемо нумерувати числами від 1 до n.

x0 m0 +  = mp

x0 +  = 1

Викладемо тепер остаточне рішення цього завдання.

Нехай V - матриця ковариаций ризикових видів цінних паперів, X = (xi), M = (mi) - Вектори-стовпці часткою xi капіталу, вкладених в i-й вид ризикових цінних паперів та очікуваних ефективностей цього виду, i = 1, .., n. Нехай також I - n-мірний вектор-стовпець, компоненти якого є 1. Тоді оптимальне значення часткою xi є

.

тут V-1 - Матриця, обернена до V. У чисельнику дробу стоїть число, в знаменнику, якщо виконати всі дії (верхній індекс Т означає транспонування вектора-стовпчика), теж вийде число, причому константа, яка визначається ринком і не залежить від інвестора, V-1(M-m0I) - вектор-стовпець розмірності n. Видно, що цей вектор не залежить від ефективності портфеля mp. Таким чином, вектор часткою ризикових видів цінних паперів пропорційний цьому вектору також не залежить від mp. Отже, структура ризикової частини портфеля не залежить від mp. Однак сума компонент вектора X* залежить від mp, Саме, компоненти вектора X* пропорційно збільшуються з ростом mp, Тому частка x0 безризикових вкладень буде при цьому скорочуватися.

 Приклад. Сформувати оптимальний портфель заданої ефективності з трьох видів цінних паперів: безризикових ефективності 2 і некоррелірованних ризикових очікуваної ефективності 4 і 10 і ризиками 2 і 4. Як влаштована ризикова частина оптимального портфеля? При будь очікуваної ефективності портфеля виникає необхідність в операції "short sale" і з якими цінними паперами?

Рішення. Отже, m0 = 2, M =  , V =  . Задамося ефективністю портфеля mp. Тепер треба знайти зворотну матрицю до матриці V. Це просто: V-1 =  . Обчислимо знаменник:

.

Отже, вектор часткою ризикових паперів є X* = ((Mз-2) / 5)  . Таким чином, ризикові частки повинні бути однакові і кожна з них дорівнює (mз-2) / 10. Отже, x*0 = 1 (mр-2) / 5. Зрозуміло, що необхідність в операції "short sale" виникне, якщо x*0 <0, тобто коли mр > 7.

Можна довести, що ризик оптимального портфеля в залежності від його прибутковості при наявності безризикових паперів дорівнює  , де

Постановку задачі формування оптимального портфеля (1) можна словами сформулювати так:

Сформувати портфель мінімального ризику з усіх наявних ефективність не менше заданої.

Але настільки ж природна і завдання формування портфеля максимальної ефективності з усіх наявних ризик не більше заданого, тобто знайти  , Максимізує очікувану ефективність портфеля

за умови, що забезпечується значення ризику портфеля не більше заданого, тобто

оскільки  - Частки, то в сумі вони повинні складати одиницю:

Якщо на ринку є безризикові папери, то в такій постановці завдання формування такого оптимального портфеля має рішення, дуже схоже на (2): Оптимальне значення часткою  ризикових паперів є

 (3)

Можна довести, що ефективність портфеля максимальної ефективності в залежності від заданого його ризику  дорівнює .

 §14. Прийняття рішень в умовах невизначеності

Припустимо, що ОПР (Особа, що приймає Рішення) розглядає кілька можливих рішень  . Ситуація невизначена, зрозуміло лише, що є в наявності якийсь із варіантів  . Якщо буде прийнято  -e рішення, а ситуація є  -я, то фірма, очолювана ЛПР, отримає дохід  . матриця  називається матрицею наслідків (можливих рішень). Яке ж рішення потрібно прийняти ЛПР? У цій ситуації повної невизначеності можуть бути висловлені лише деякі рекомендації попереднього характеру. Вони не обов'язково будуть прийняті ЛПР. Багато що буде залежати, наприклад, від його схильності до ризику. Але як оцінити ризик в даній схемі?

Припустимо, ми хочемо оцінити ризик, який несе  -e рішення. Нам невідома реальна ситуація. Але якби її знали, то вибрали б найкраще рішення, тобто приносить найбільший дохід. Тобто якщо ситуація є  -я, то було б прийнято рішення, що дає дохід .

Значить, приймаючи  -e рішення ми ризикуємо одержати не  , А тільки  , Значить прийняття  -го рішення несе ризик недобрати  . матриця  називається матрицею ризиків.

Приклад 1. Нехай матриця наслідків є



Послідовне поліпшення виробничої програми | Складемо матрицю ризиків. Маємо Отже, матриця ризиків є
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати