Головна

відділення коренів

  1. III відділення СЕІВК
  2. А) Коли температура поверхні тіла вирівнюється з такою навколишнього середовища, провідне значення набуває потовиділення і випаровування поту та вологи з поверхні тіла.
  3. Хвора 27 років на протязі 5 років лікується з приводу хронічного аднекситу, доставлена ??в гінекологічне відділення з ознаками пельвіоперітоніта. У чоловіка хронічний уретрит.
  4. Хворих госпіталізують у відділення реанімації після негайного введення антибіотика
  5. У хірургічне відділення поступив хворий з різаною раною в області кубітальної ямки, з якої є масивне артеріальна кровотеча.
  6. Вплив зовнішніх факторів на поглинальну активність коренів
  7. госпітальне відділення

Для відділення коренів можна скористатися методом лінійного пошуку, в якому діапазон пошуку  проходиться з кроком  при виконанні умови  приймається рішення про наявність кореня в проміжку  . У загальному випадку в діапазоні пошуку може виявитися кілька коренів (  ), До кожного з яких слід застосувати операцію уточнення. Ілюстрація та алгоритм відділення коренів представлені відповідно на рис.1.1 і 1.2 додатка.

уточнення коренів

Існує кілька основних методів уточнення коренів рівнянь.

1. Метод поділу навпіл (метод дихотомії, метод бисекции)

Це найбільш надійний алгоритм, особливо коли про поведінку  відомо тільки, що  - Функція дійсної змінної x і відомий інтервал , на якому  змінює знак (рис.1.3). Отже, між и  існує точка, в якій функція звертається в нуль. Якщо розділити інтервал навпіл і дізнатися, більше

Рис.1.1 - ілюстрація до відокремлення коренів

нуля або менше нуля функція в точці поділу, то можемо вказати подинтервал, в якому функція змінює знак. Наступним розподілом вказуються подинтервалов можна як завгодно близько підійти до кореня: наприклад, за 10 кроків інтервал з коренем буде зменшений в 1024 рази. При заданій абсолютної точності e алгоритм методу розподілу навпіл складається з наступних кроків (рис.1.4).

1.обчислити и . Витрати машинного часу на уточнення кореня оцінюють побічно, за кількістю звернень до функції -  , Отже,  буде інкрементіровать двічі.

2.якщо знаки и  не збігаються, т. е.  , і  , То потрібно замінити  на  і перейти до п.1.

3.Якщо ж при  , Слід припинити обчислення, т. К. Досягнута задана точність.

4.якщо , и  , То потрібно замінити  на  і перейти до п.1; в іншому випадку - припинити обчислення, так як досягнута задана точність. Будь-який з кінців відрізка  , А краще його середина, може бути використана в якості кореня  рівняння .

Відзначимо основні переваги методу розподілу навпіл: 1) абсолютно надійний; 2) швидкість збіжності не залежить від виду .

Рис.1.2 - алгоритм відділення коренів

2. Метод хорд

Метод поділу навпіл буде покращено, якщо для наступного обчислення використовувати не середину відрізка  , А то значення  в якому дає нуль лінійна інтерполяція між двома відомими значеннями функції  протилежного знака (рис.1.5).

Геометрично спосіб лінійної інтерполяції еквівалентний заміні кривої  хордою, що проходить через точки и

Рис.1.3, б - ілюстрації до методу розподілу навпіл

Рівняння хорди:

вважаючи и  отримуємо наближення до кореня:

 . (1)

Алгоритм методу хорд (рис.1.6):

1.обчислити и

2.обчислити  за формулою (1) і

3.якщо знаки и  збігаються, т. е.  то кінець  нерухомий. В цьому випадку прийняті:  якщо . Потім перейти до п.2. В іншому випадку, тобто. Е. При  обчислення завершені, т. к. задана точність досягнута.

4.якщо  нерухомий кінець  . В разі :  Потім перейти до п.2. Інакше - обчислення завершені. значення  використовується як корінь рівняння.

Переваги методу хорд: 1) абсолютно надійний; 2) в більшості випадків має більш швидку збіжність, ніж метод поділу навпіл.

Недолік: швидкість збіжності залежить від виду , і тому для деяких функцій число кроків на уточнення кореня може виявитися більшим, ніж в методі поділу навпіл.

Рис.1.4 - алгоритм методу розподілу навпіл

3. Метод дотичних (метод Ньютона)

якщо  має одну і більш безперервних похідних (т. е.  досить гладка), то можна застосувати метод Ньютона (метод дотичних) і метод січних, що дозволяють скоротити число обчислень функції в порівнянні з методом розподілу навпіл і методом хорд, т. е. зменшити витрати машинного часу.

У методі Ньютона кожне нове наближення  обчислюється як єдиний нуль дотичній прямій до функції  в точці :

.

Це итерационная формула методу Ньютона. Кожна ітерація вимагає обчислення не тільки , але і її похідної .

Ілюстрація до методу дотичних представлена ??на рис.1.7, а алгоритм методу - на рис.1.8.

Метод Ньютона має гарну збіжність. Основна складність полягає у виборі початкового наближення  яке веде до Сходячих ітераційного процесу. Тому методу Ньютона часто передує якийсь глобально сходиться алгоритм типу ділення навпіл.

Рис.1.5 - ілюстрація до методу хорд

4. Метод січних

Даний метод замінює похідну першої різницею, знайденої по двох останніх итерациям. Ітераційна формула методу має вигляд

У цьому алгоритмі починають з двома вихідними числами и  На кожному кроці  отримують як єдиний нуль січною прямий до функції що проходить через точки з абсциссами и (Рис.1.9). Алгоритм методу січних наведено на рис.1.10.

Метод січних має хорошу збіжність. Недолік - в призначенні и , досить близьких до кореня для того, щоб могла початися збіжність.

Рис.1.6 - алгоритм методу хорд

5. Метод ітерацій

рівняння  замінюють рівносильним  Вибирають будь-яким способом наближене значення кореня  і по ньому знаходять  Повторюючи процес, отримують послідовність чисел:

Якщо ця послідовність - сходиться, то межа  є коренем равносильного рівняння і може бути обчислений по ітераційної формулою  з будь-яким ступенем точності.

Процес ітерацій слід продовжувати до тих пір, поки для двох послідовних наближень не буде виконано нерівність  де  - Задана абсолютна точність обчислення кореня і

Тому в методі ітерацій при переході від рівняння  до рівняння  слід вибирати таке уявлення , за якого  що є умовою збіжності методу. чим менше  , Тим швидше послідовні наближення сходяться до кореня . Ілюстрації до методу ітерацій дані на рис.1.11, алгоритм - на рис.1.12

На закінчення слід зазначити, що не існує методу, який мав би явну перевагу перед іншими для довільного класу функцій.

5. Комбіновані методи рішень нелінійних рівнянь

Методи комбінують для підвищення ефективності: комбінований метод повинен забезпечити при тій же величині помилки менші витрати машинного часу в порівнянні з будь-яким з комбінованих методів. Приклади алгоритмів комбінованих методів представлені на рис.1.13 і 1.14.

Ріс.1.7 - ілюстрація до методу дотичних

Рис.1.8 - алгоритм методу дотичних

Рис.1.9 - ілюстрація до методу січних

Ріс.1.10 - алгоритм методу січних

Короткі відомості | Рішення нелінійних рівнянь в системі Mathcad


нелінійних рівнянь | Приклад побудови графіка функції і рішення нелінійного рівняння | ЗАВДАННЯ | Короткі відомості | Виділіть форму, клацнувши на ній лівою кнопкою миші, і в властивість Caption (напис) впишіть тригонометричним ІНТЕРПОЛЯЦІЯ. | алгебра матриць | Алгоритми формування матриць | Методи розкладання матриць | Методи звернення матриць | Операції з векторами і матрицями в системі Mathcad |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати