Головна |
Градієнтом функції називають вектор . (7.8) |
Градієнт вказує напрямок найбільшого зростання функції.
Похідна функції за напрямом вектора , в точці виражається формулою: , (7.9) де напрямні косинуси вектора , . (7.10) |
Найбільше значення похідної за напрямом дорівнює модулю градієнта, знайденому у відповідній точці :
. (7.11)
Приклад 7.7. | Знайти градієнт і похідну за напрямом, який визначають градієнтом, функції в точці . |
Розв'язання.За формулою (7.8) знайдемо градієнт заданої функції у визначеній точці:
В напрямку градієнта функція буде мати похідну: .
Похідна за напрямом, знайдена за всяким іншим напрямом, буде менше знайденого значення.
Контрольні питання зі змістового модуля III
6.1. | Дати означення похідної функції однієї змінної, диференційованості функції в точці та на інтервалі. |
6.2. | Який геометричний зміст похідної? |
6.3. | Який зв'язок між диференційованістю та неперервністю функції? Чи випливає з неперервності функції її диференційованість? |
6.4. | Навести основні властивості похідної, зокрема формули добутку та частки функцій, похідної складної та оберненої функцій. |
6.5. | Дати означення похідної вищих порядків. |
6.6. | Навести формули похідних основних елементарних функцій. |
6.7. | Як знайти похідну функції, що задана параметрично? Похідну функції, що задана неявно? |
6.8. | Коли застосовують та у чому полягає логарифмічне диференціювання? |
6.9. | Дати означення диференціала функції однієї змінної, навести зв'язок між похідною та диференціалом та його властивості. |
6.10. | Який геометричний зміст диференціала? |
6.11. | У чому полягає інваріантність форми диференціала першого порядку? |
7.1. | Дати означення частинних похідних та навести їх геометричний зміст. |
7.2. | Сформулювати теорему про змішані похідні. |
7.3. | Дати означення диференційованості функції двох змінних. |
7.4. | Навести ознаку диференційованості функції двох змінних. |
7.5. | Як знайти повний диференціал функції двох змінних? |
7.6. | Дати означення градієнта функції двох змінних. |
7.7. | Як знайти похідну за напрямом функції двох змінних? |
7.8. | Який вектор вказує напрямок найбільшого зростання функції? Яким є найбільше значення похідних у точці за напрямом? |
Властивості функцій, що неперервні на відрізку | Класифікація точок розриву | Диференційованість функції однієї змінної. Правила обчислення похідних | Правило знаходження похідної | Основні властивості похідної | Похідні функцій, заданих у параметричній, неявній формах, логарифмічне диференціювання | Диференціал функції однієї змінної | Геометричний зміст диференціала | Інваріантність форми диференціала першого порядку | Частинні похідні та повний диференціал |