Головна |
нехай - Дві криві на поверхні, задані своїми внутрішніми рівняннями
.
якщо проходять через одну й ту ж саму точку на поверхні, то за допомогою коефіцієнтів можна знайти кут між цими кривими в точці Р. Якщо , то
, Де, як і раніше, - Дотичні вектори до кривих . Покладемо для стислості
.
Тоді скалярний твір в чисельнику даної дробу можна знайти за формулою
.
довжини векторів знаходять за формулами
.
З'ясуємо тепер геометричний сенс коефіцієнтів першої квадратичної форми. являють собою квадрати масштабів координатних ліній - довжини малих дуг координатних ліній приблизно в раз більше відповідних дуг в області . Геометричний сенс коефіцієнта складніше: , де - Кут між координатними лініями. Звідси . Зокрема, щоб координатні лінії в кожній точці були ортогональні, необхідно і достатньо, щоб .
З'ясуємо геометричний зміст виразу
, Яке знадобиться нам надалі:
.
Таким чином, число дорівнює площі паралелограма, натягнутого на вектори приватних похідних .
Довжина кривої на поверхні. | Кривизна кривої поверхні. Друга квадратична форма.
Кривизна кривої. Дотична площину. | Крутіння кривої. Формули Френе. | Обчислення крутіння. | Натуральні рівняння кривої. | Приклади. | Вектор-функція двох змінних; | Крива на гладкій поверхні. | Теорема 1. | Теорема 2. | Направлення на поверхні. |