Головна

Постановка завдання інтерполяції

  1. GPSS-ПРОГРАМА завдання № 6
  2. I СИТУАЦІЙНІ ЗАВДАННЯ ПО ПРОФІЛЬНИМ РОЗДІЛІВ
  3. I. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМИ І ВИЗНАЧЕННЯ МОВНИХ ЖАНРІВ 1 сторінка
  4. I. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМИ І ВИЗНАЧЕННЯ МОВНИХ ЖАНРІВ 2 сторінка
  5. I. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМИ І ВИЗНАЧЕННЯ МОВНИХ ЖАНРІВ 3 сторінка
  6. I. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМИ І ВИЗНАЧЕННЯ МОВНИХ ЖАНРІВ 4 сторінка
  7. I. Цілі і завдання виконання курсової роботи

Нехай функція f (x) задана таблично:

Таблиця 3

X X0 X1 X2  ... Xn
 F (x) Y0 Y1 Y2  ... Yn

У процесі виконання завдання необхідно для деякої проміжної точки х отримати значення f (x). Так як вид функції f (x) невідомий, потрібно знайти многочлен Qm(X), який в заданих точках х0, х1, ..., Xn збігався зі значеннями функції f (x), т. е.

Qm(x0) = F (x0),

Qm(x1) = F (x1), (3.3)

Qm(xn) = F (xn),

де Qm(X) = c0?0(X) + c1?1(X) + ... + cm?m(X) називається інтерполяційним многочленом.

Умова (3.3) називається умовою інтерполяції. точки х0, х1, ..., Хn називаються вузлами інтерполяції. В інших точках відрізка [x0, xn] Області визначення функції f (x) багаточлен Qm(X) наближено представляє значення f (x) з тим або іншим ступенем точності. Завдання побудови Qm(X) за умови (3.3) називається завданням інтерполяції.

Умова (3.3) необхідно, але не достатньо для знаходження єдиного многочлена Qm(X), так як при цьому умови через точки f (xi) (I = 0, ..., n) можна провести більш одного Qm(X):

y  Q "m(X) Q 'm(X)

               
 
   
   
       
 
 

x0 x1 x3 x4 x5 x

рис 17

Для отримання єдиного рішення необхідно щоб порядок многочлена Qm(X) збігався з числом вузлів інтерполяції m = n, т. Е. Мав вигляд Qn (x) = c0?0(X) + c1?1(X) + ... + cn?n(X).

Для визначення невідомих постійних коефіцієнтів з0, з1, ..., Зn використовуємо умова інтерполяції (3.3).

с0?0(x0) + C1?1(x0) + ... + Cn?n(x0) = F (x0)

с0?0(x1) + C1?1(x1) + ... + Cn?n(x1) = F (x1) (3.4)

...

с0?0(xn) + C1?1(xn) + ... + Cn?n(xn) = F (xn)

Система (3.4) - система лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих з0, з1, ..., Зn. Дана система має єдине рішення, якщо визначник системи не дорівнює нулю:

?0(x0) ?1(x0) ... ?n(x0)

?0(x1) ?1(x1) ... ?n(x1) ? 0 (3.5)

...

?0(xn) ?1(xn) ... ?n(xn)

Система функцій ?0(X), ?1(X), ?2(X), ..., ?n(X) повинна бути лінійно незалежною.

Таким чином для вирішення завдання інтерполяції необхідно виконання наступних умов:

- Інтерполяційний многочленQm(X) повинен збігатися зі значеннями функції f (x) у вузлах інтерполяції;

- Порядок многочлена Qm(X) дорівнює числу вузлів інтерполяції;

- Система функцій ?0(Х), ?1(Х), ?2(Х), ..., ?т(Х) повинна бути лінійно незалежною.

Вирішимо систему (3.3) використовуючи правило Крамера, уявімо многочлен Qn(X) у вигляді

Qn(X) =  , (3.6)

де ?, ?i (I = 0, ..., n) - визначники системи (3.4).

Розкриваючи визначники, остаточно перетворимо інтерполяційний многочлен Qn(X):

Qn(X) = f (x0) Ф0(Х) + f (x1) Ф1(X) + ... + f (xn) Фn(X) (3.7)

де Фi(Х) є лінійною комбінацією функцій ?0(Х), ?1(Х), ..., ?n(X).

З огляду на інтерполяційне умова (3.3), функції Фi(Х) повинні володіти наступну властивість:

Фi(xj) =  (3.8)

наближення функцій | Многочлен Лагранжа


Метод половинного ділення | метод хорд | Підставами (1.14) в (1.11), з урахуванням (1.13) отримаємо | Відділення коренів. | Приклад (метод половинного ділення) | Алгебра матриць, основні визначення, норма матриці | Вироджені матриці, погано обумовлені системи рівнянь | введемо позначення | метод Зейделя | Приклад рішення СЛАР табличним процесором EXCEL |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати