Головна

введемо позначення

  1. Буквені позначення по ГОСТ 21.404-85
  2. Буквені позначення.
  3. У прийнятих позначеннях запишемо рівняння складу
  4. Греко-латинські дублетні позначення органів, частин тіла
  5. Додаткові літерні позначення, що відображають функціональні ознаки приладів по ГОСТ 21.404-85
  6. додаткові позначення

 (2.5)

Перепишемо систему (2.4) з урахуванням введених позначень

x1= ?12x2+ ?13x3+ ?1

x2= ?21x1+ ?23x3+ ?2 (2.6)

x3= ?31x1+ ?32x2+ ?3

Систему (2.6) будемо вирішувати методом послідовних наближень. Вибираємо довільно початкове наближення до вирішення системи

x(0)= (X10, x20, x30). (2.7)

Підставивши в (2 .6) отримаємо нове наближення x(1):

x11= ?12x20+ ?13x30+ ?1

x21= ?21x10+ ?23x30+ ?2 (2.8)

x31= ?31x10+ ?32x20+ ?3

Цим закінчується перша ітерація. На другому кроці початкові наближення х10, х20, х30 замінюються на х11, х21, х31 і процес (2.8) повторюється знову для обчислення другого наближення х(2)= (Х12, х22, х32) і т.д.

Ітераційний процес продовжується до тих пір, поки всі xi(K + 1) не стануть досить близькі до хi(K). Критерій близькості між х(K) і x(K + 1) приближениями оцінюються за формулою

|| x(k + 1)-x(k)||  (2.9)

де || x(k + 1)-x(k)|| - Норма вектора різниць;

|| ? || - одна з норм матриці ? системи (2.8);

? - задана похибка.

Приклад. вирішити систему

 3.5x1+ 1.2x2-0.5x3= 5,

0.1x1+ 5x2+ 2x3= 11, (2.10)

2x1-0.3x2+ 7x3= 14.

Наведемо систему до еквівалентного вигляду (2.6).

х1= -0.34х2+ 0.14х3+1.42,

х2= -0.02х1-0.4х3+2.2, (2.11)

х3= -0.29х1+ 0.04х2+2.

За початкове наближення коренів системи (2.11) приймаємо довільні значення: х10= 1; х20= 2; х30= 2.

Підставляємо ці значення в праві частини рівнянь (2.11).

х11= -0,34 * 2 + 0.14 * 2 + 1.42 = 1.02,

х21= -0.02 * 1-0.4 * 2 + 2.2 = 1.42, (2.12)

х31= -0.29 * 1 + 0.04 * 2 + 2 = 2.21.

Нехай похибка методу ? = 0.01. Визначимо норму вектора різниць.

|| x(1)-x(0)|| = Max  (2.13)

Визначимо одну з норм матриці ?, ввівши нульові коефіцієнти на головній діагоналі:

 0 -0.34 0.14

? = -0.02 0 -0.4, (2.14)

-0.29 0.04 0

 (2.15)

За допомогою (2.9) перевіримо умова закінчення процесу ітерації.

0.58  (2.16)

Умова не виконується, процес ітерації слід повторити.

Збіжність процесу ітерації можлива тільки для певного класу систем рівнянь.

Наведемо без доведення достатня умова збіжності.

Якщо для еквівалентної системи (2.8) виконано принаймні одна з умов

1.

2.

т. е. одна з норм матриці ? менше 1, то процес ітерації (2.9) сходиться до єдиного рішення цієї системи, незалежно від вибору початкового наближення.

Слідство. Для системи (2.3) метод ітерації сходиться, якщо виконані нерівності

| aij|>  . (2.17)

Т. е. Якщо модулі діагональних коефіцієнтів для кожного рівняння системи більше суми модулів всіх інших коефіцієнтів.

Теорема збіжності накладає жорсткі умови на коефіцієнти даної лінійної системи.

Наприклад.

x1-4x2+ x3= 3 1)

2x1+ 3x2-0.5x3= 5 2)

-4x1+ 1.5x2-3.5x3= 7 3)

Система не відповідає умовам теореми збіжності: наслідок теореми збіжності не виконується. Однак, якщо detA ? 0, то за допомогою лінійного комбінування рівнянь системи останню можна привести до виду, зручного для ітерацій.

Виконаємо такі перетворення: в першому рівнянні коефіцієнт при х2 по модулю більше суми модулів інших коефіцієнтів, приймемо дане рівняння за друге рівняння системи. Перше рівняння отримаємо, підсумовуючи перше і друге рівняння, третє отримаємо підсумовуючи все три рівняння системи. У лінійної комбінації повинні брати участь всі рівняння вихідної системи. отримаємо

 3x1-x2+ 0.5x3= 8 1) +2)

x1-4x2+ x3= 3

-x1+ 0.5x2-3x3= 15 1) +2) +3)

Нова система відповідає умовам теореми збіжності, отже, можна застосувати метод ітерацій.

 



Вироджені матриці, погано обумовлені системи рівнянь | метод Зейделя

Кудінов Ю. А., Габдуллина О. Г. | Наближене рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. | відділення коренів | Метод половинного ділення | метод хорд | Підставами (1.14) в (1.11), з урахуванням (1.13) отримаємо | Відділення коренів. | Приклад (метод половинного ділення) | Алгебра матриць, основні визначення, норма матриці | Приклад рішення СЛАР табличним процесором EXCEL |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати