Головна

Алгебра матриць, основні визначення, норма матриці

  1. I. 1. Що називається коливаннями? Гармонійні коливання, їх основні характеристики.
  2. I. Нормативно-правові акти
  3. I. Нормативні акти, інші офіційні документи
  4. I. Нормативні правові акти
  5. I. Нормативні правові акти та офіційні документи.
  6. I. Нормативні правові акти.
  7. I. НОРМАТИВНИЙ БЛОК

Система m * n чисел, розташованих в прямокутної таблиці з m рядків і n стовпців

 
 


а11 а12 а13... а1n

а21 а22 а23... а2n

А = ...,

аm1 аm2 аm3... аmn

називається матрицею.

Матриця називається квадратної, якщо m = n. З квадратною матрицею пов'язаний визначник:

a11 a12 a13... a1n

a21 a22 a23... a2n

detA = ...

am1 am2 am3... amn

Квадратна матриця називається вироджених (особливою), якщо визначник її дорівнює нулю.

Під абсолютною величиною (модулем) матриці A = (aij) будемо розуміти матрицю | A | = (| aij|), Де | aij| - Модулі елементів матриці А.

Якщо А і В-матриці, для яких операції А + В і АВ мають сенс, то:

1) | A + B | ? | A | + | B |;

2) | AB | ? | A || B |;

3) | ?A | = | ? || A |, де | ? | - Число.

Під нормою матриці А розуміється дійсне число || А ||, що задовольняє умовам:

1) || A || ?0, причому || A || = 0 тоді і тільки тоді, коли А = 0;

2) || ?A || = | ?A ||;

3) || A + B || ? || A || + || B ||;

4) || AB || ? || A | B ||.

Розглянемо три норми матриці:

1) m- норма, || A ||m=

2) l- норма, || A ||l=

3) k-норма, || A ||k=

Приклад: Обчислити норми матриці.

 А = 1 -2

3 4

|| A ||m= Max (| 1 | + | -2 |, | 3 | + | 4 |) = max (3,7) = 7;

|| A ||l= Max (| 1 | + | 3 |, | -2 | + | 4 |) = max (4,6) = 6;

|| A ||k=

Норма матриці потрібно для оцінки збіжності методу ітерацій.

Для перевірки умови закінчення ітераційного процесу введемо поняття норми вектора та норми вектора різниць.

Нехай дано вектор

Тоді в лінійному просторі Rn n- мірних векторів норма вектора визначається:

|| X ||m= Max | xi|;

|| X ||l= | X1| + | X2| + ... + | Xn| (2.1)

|| X ||k= .

Приклад. Обчислити норми вектора

|| X ||m= 5; || X ||l= | 1 | + | -3 | + | -5 |; || X ||k=

Приклад. Обчислити норму вектора різниць

Нехай дано два вектора:

Норма вектора різниць x(1)= x(2) визначається:

 



Приклад (метод половинного ділення) | Вироджені матриці, погано обумовлені системи рівнянь

Кудінов Ю. А., Габдуллина О. Г. | Наближене рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. | відділення коренів | Метод половинного ділення | метод хорд | Підставами (1.14) в (1.11), з урахуванням (1.13) отримаємо | Відділення коренів. | введемо позначення | метод Зейделя | Приклад рішення СЛАР табличним процесором EXCEL |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати