Головна

Застосування градієнтного методу, коли обмеження на область зміни змінних х відсутні

  1. I. Область применения
  2. I. Область применения
  3. XI. Субтропическая полупустынная и пустынная область
  4. А) Гостра прогресуюча, б) відносна стабілізація, в) остаточні зміни.
  5. А.14 Область применения полупроводников это
  6. Автономная область, автономный округ как единицы административно-территориального устройства РФ.
  7. Аналіз впливу чинників зміни витрат на 1 грн вартості реалізованої продукції

Розглянемо задачу максимізації функції f(х), коли обмеження на область зміни змінних хвідсутні. Пошук екстремального значення функції f(х)можна починати з будь-якого допустимого розв'язку, наприклад, з точки хk = (x1k; ...; хпk).

Градієнтом Ñf(x) функції f(х)в точці хk називається вектор, координатами якого є значення в цій точці частинних похідних першого порядку відповідної змінної, тобто

Градієнт функції в цій точці вказує напрямок найшвидшого зростання функції f (х).

Переміщення з точки хk вздовж градієнту в нову точку хk+1 відбувається по прямій, рівняння якої

. (1)

де lk-числовий параметр, від величини якого залежить довжина кроку переміщення . Величина lk, при якій досягається найбільший приріст функції, може бути визначена з необхідної умови екстремуму функції

(2)

Чергову точку хk+1 визначаємо після обчислення параметру lk(для цього підставляємо значення lkв формулу (1) на пошуковій траєкторії). В цій (хk+1) точці знову знаходимо градієнт, а рух відбувається даліпо прямійхk+2 = хk+1 + lk+1Ñf(xk+1) у напрямку нового градієнту Ñf (xk+2) до точки хk+2, в якій досягається найбільше значення функції f(х)в цьому напрямку і т. д. Розв'язування триватиме доти, поки не буде досягнута точка х*, в якій градієнт функції дорівнює нулю. В цій точці х* цільова функція f(х*) і буде набувати максимального значення.

Приклад 1. Нехай потрібно визначити точку максимуму функції , коли процес розв'язування розпочинається з точки x0 = (4;4).

Розв'язування. Знайдемо частинні похідні функції f(x)

; .

Градієнт функції в точці х0 буде

.

Перемістимось з точки х0вздовж градієнту Ñf(х0) в нову точку х1:

х1 = x0 + λ0 Ñf (х0) = (4; 4) + l0 (-6; -4) = (4 - 6 l0; 4 - 4 l0).

Градієнт функції в точці х1 дорівнює

Ñf (х1) = [2 - 2 (4 - 6l0); 4 - 2 (4 - 4l0)] = (- 6 +12l0; - 4 + 8l0).

З необхідної умови екстремуму одержуємо рівняння

, звідки = 0,5.

Оскільки , то знайдене значення х1 є точкою максимуму функції Ñf (х1).

Враховуючи = 0,5, визначимо координати точки х1 на пошуковій траєкторії

х1= (4 - 6·0,5; 4 - 4·0,5) = (1; 2)

та градієнт Ñf (х1)в цій точці х1 Ñf (х1) = (2 - 2·1; 4 - 2·2) = (0; 0).

Оскільки градієнт Ñf (x1) має нульові координати, робимо висновок про те, що х1 = (1; 2) є точкою, в якій цільова функція досягає максимального значення f(х1) = 2·1+ 4·2 - 1- 4 = 5 (в початковій точці f(x0) = - 8).

На мал. 1 наведена графічна інтерпретація даної задачі.

Мал. 1.



Короткі теоретичні відомості | Застосування градієнтного методу, коли наявні обмеження на область зміни змінних х
© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати