Головна |
Методи, засновані на застосуванні векторівНедостатня увага в загальноосвітній школі приділяється застосуванню векторів для вирішення рівнянь і нерівностей. Проте, як буде показано нижче, в ряді випадків застосування властивостей векторів дозволяє ефективно вирішувати досить-таки складні рівняння і нерівності. вектора в тривимірному просторі характеризується трьома координатами і модуль (довжина) вектора обчислюється за формулою . Сумою (різницею) двох векторів и називається вектор , Координати якого обчислюються як , , (Відповідно, , , ). Два різних від нуля вектора називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні. Вірно і зворотне твердження: якщо у двох векторів відповідні координати пропорційні, то вектори колінеарні. для векторів и справедливо нерівність , Т. Е. . (6.1) Формула (6.1) узагальнюється на випадок суми (або різниці) трьох і більше векторів. Геометричний сенс (6.1) полягає в тому, що довжина ламаної лінії, що з'єднує дві точки тривимірного простору, більше або дорівнює довжині відрізка прямої, проведеного між цими точками. Формула (6.1) інакше називається нерівністю трикутника. Слід особливо відзначити, що рівність в (6.1) досягає тоді і тільки тоді, коли вектори и Колінеарні. Зокрема, з рівності в (6.1) випливає, що . причому рівність має місце тоді і тільки тоді, коли вектори и сонаправлени, Т. Е. . У свою чергу, рівність свідчить про те, що вектори , протилежно спрямовані . скалярним добутком · векторів и називається число (скаляр), яке обчислюється за формулою · = , (6.2) де - Кут, утворений векторами и . Для обчислення скалярного добутку двох векторів и , Заданих в координатної формі, існує ще одна формула · = (6.3) З формул (6.2) і (6.3) легко отримати формулу для обчислення косинуса кута .. між векторами и , Т. Е. (6.4) З формули (6.2) випливає, що вектори , є колінеарними тоді і тільки тоді, коли · = . Відзначимо. Що формули (6.1) (6.4) узагальнюються на випадок векторів и , Заданих в n-вимірному просторі (де n ). Завдання і рішення Приклад 6.1.Довести, якщо , то (6.5) де Доведення. нехай , тоді Введемо в розгляд вектор Так як то вектор має координати и оскільки то нерівність трикутника набуває вигляду (6.6) Якщо в нерівність (6.6) підставити вирази для ..., , То отримаємо необхідну нерівність (6.5). Приклад 6.2.вирішити нерівність (6.7) Рішення. Нехай на площині вектор має координати , А вектор - координати тоді маємо . нехай тоді координати вектора будуть обчислюватися за формулами . Звідси слідує що оскільки то має місце нерівність трикутника Якщо в останню нерівність підставити вирази для то отримаємо нерівність Звідси і з (6.7) випливає рівність (6.8) Рівність (6.8) означає, що Звідси випливає, що вектори Колінеарні. Використовуючи основну властивість колінеарних векторів, отримуємо рівняння , Звідки випливає відповідь: Приклад 6.3.Вирішити рівняння (6.9) Рішення. Введемо в розгляд два вектора и тоді Беручи до уваги рівняння (6.9), отримуємо рівність , Наявність якого свідчить про те, що вектори є колінеарними. Отже, має місце рівняння (6.10) З рівняння (6.10) випливає, що Якщо звести в квадрат обидві частини рівняння (6.10), то отримаємо рівнянні яке має наступних три кореня: оскільки то рішенням рівняння (6.9) є відповідь: . Приклад 6.4.Знайти мінімальне значення функції Рішення. Уявімо функцію у вигляді (6.11) Введемо на площині вектори з координатами відповідно. Так як , То з виразу (6.11) випливає, що нехай тоді координатами вектора є (-5; 3) і Так як то и Тепер необхідно показати, що отримана нижня оцінка функції приймає значення якщо , то т. е. вектори Колінеарні. Звідси слідує що покладемо тоді Якщо знайдені значення и підставити в (6.11), то Отже, мінімальне значення функції одно відповідь: Завдання і рішення | Завдання і рішення Метод функціональної підстановки | Метод тригонометричної підстановки | Завдання і рішення | нерівність Коші | нерівність Бернуллі | Нерівність Коші-Буняковського | Завдання і рішення | Методи, засновані на монотонності функцій | Завдання і рішення | Методи вирішення функціональних рівнянь | |