Головна

Методи, засновані на застосуванні векторів

  1. II. МЕТОДИ, ПІДХОДИ І ПРОЦЕДУРИ ДІАГНОСТИКИ І ЛІКУВАННЯ
  2. Алгоритм знаходження власних векторів для заданого
  3. Безпека життєдіяльності. Види, напрямки, підходи, методи, способи і засоби забезпечення безпеки життєдіяльності.
  4. У третьому випадку використовуються витратні або маркетингові методи, коли ціна визначається виходячи з рівня витрат або можливостей покупців.
  5. Висновки, засновані на емоціях
  6. Дана програма визначає нові орієнтири в морально-патріотичному вихованні дітей, засновані на їх залученні до витоків російської народної культури.
  7. ЗАВДАННЯ N 16 Тема: Методи, прийоми, засоби управління освітніми системами

Недостатня увага в загальноосвітній школі приділяється застосуванню векторів для вирішення рівнянь і нерівностей. Проте, як буде показано нижче, в ряді випадків застосування властивостей векторів дозволяє ефективно вирішувати досить-таки складні рівняння і нерівності.

вектора  в тривимірному просторі характеризується трьома координатами  і модуль (довжина) вектора  обчислюється за формулою  . Сумою (різницею) двох векторів и  називається вектор  , Координати якого обчислюються як , ,  (Відповідно, , ,  ).

Два різних від нуля вектора називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні. Вірно і зворотне твердження: якщо у двох векторів відповідні координати пропорційні, то вектори колінеарні.

для векторів и  справедливо нерівність  , Т. Е.

. (6.1)

Формула (6.1) узагальнюється на випадок суми (або різниці) трьох і більше векторів. Геометричний сенс (6.1) полягає в тому, що довжина ламаної лінії, що з'єднує дві точки тривимірного простору, більше або дорівнює довжині відрізка прямої, проведеного між цими точками. Формула (6.1) інакше називається нерівністю трикутника.

Слід особливо відзначити, що рівність в (6.1) досягає тоді і тільки тоді, коли вектори и  Колінеарні. Зокрема, з рівності в (6.1) випливає, що .

причому рівність  має місце тоді і тільки тоді, коли вектори и сонаправлени, Т. Е. .

У свою чергу, рівність  свідчить про те, що вектори ,  протилежно спрямовані .

скалярним добутком ·  векторів и  називається число (скаляр), яке обчислюється за формулою

· =  , (6.2)

де  - Кут, утворений векторами и .

Для обчислення скалярного добутку двох векторів и  , Заданих в координатної формі, існує ще одна формула

· =  (6.3)

З формул (6.2) і (6.3) легко отримати формулу для обчислення косинуса кута .. між векторами и  , Т. Е.

 (6.4)

З формули (6.2) випливає, що вектори ,  є колінеарними тоді і тільки тоді, коли · = .

Відзначимо. Що формули (6.1)  (6.4) узагальнюються на випадок векторів и  , Заданих в n-вимірному просторі (де n  ).

Завдання і рішення

Приклад 6.1.Довести, якщо  , то

 (6.5)

де

Доведення. нехай  , тоді  Введемо в розгляд вектор

Так як  то вектор  має координати и  оскільки  то нерівність трикутника набуває вигляду

(6.6)

Якщо в нерівність (6.6) підставити вирази для  ...,  , То отримаємо необхідну нерівність (6.5).

Приклад 6.2.вирішити нерівність

 (6.7)

Рішення. Нехай на площині вектор  має координати  , А вектор  - координати  тоді маємо  . нехай  тоді координати вектора  будуть обчислюватися за формулами  . Звідси слідує що  оскільки  то має місце нерівність трикутника  Якщо в останню нерівність підставити вирази для  то отримаємо нерівність  Звідси і з (6.7) випливає рівність

(6.8)

Рівність (6.8) означає, що

Звідси випливає, що вектори  Колінеарні. Використовуючи основну властивість колінеарних векторів, отримуємо рівняння  , Звідки випливає

відповідь:

Приклад 6.3.Вирішити рівняння

 (6.9)

Рішення. Введемо в розгляд два вектора и  тоді

Беручи до уваги рівняння (6.9), отримуємо рівність  , Наявність якого свідчить про те, що вектори  є колінеарними. Отже, має місце рівняння

 (6.10)

З рівняння (6.10) випливає, що  Якщо звести в квадрат обидві частини рівняння (6.10), то отримаємо рівнянні

яке має наступних три кореня:  оскільки  то рішенням рівняння (6.9) є

відповідь: .

Приклад 6.4.Знайти мінімальне значення функції

Рішення. Уявімо функцію  у вигляді

 (6.11)

Введемо на площині вектори  з координатами  відповідно. Так як  , То з виразу (6.11) випливає, що

нехай  тоді координатами вектора  є (-5; 3) і

Так як  то и  Тепер необхідно показати, що отримана нижня оцінка функції  приймає значення

якщо  , то  т. е. вектори  Колінеарні. Звідси слідує що  покладемо  тоді  Якщо знайдені значення и  підставити в (6.11), то  Отже, мінімальне значення функції  одно

відповідь:

Завдання і рішення | Завдання і рішення


Метод функціональної підстановки | Метод тригонометричної підстановки | Завдання і рішення | нерівність Коші | нерівність Бернуллі | Нерівність Коші-Буняковського | Завдання і рішення | Методи, засновані на монотонності функцій | Завдання і рішення | Методи вирішення функціональних рівнянь |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати