Головна

Вступ | Метод функціональної підстановки | Метод тригонометричної підстановки | Завдання і рішення | нерівність Коші | нерівність Бернуллі | Нерівність Коші-Буняковського | Завдання і рішення | Методи, засновані на монотонності функцій | Методи, засновані на застосуванні векторів |

Методи вирішення функціональних рівнянь

  1. D.3. Системи економетричних рівнянь
  2. I. Методи суворо регламентованого вправи.
  3. I. Визначення рівнянь лінійної регресії
  4. I.I. Способи вирішення проблеми неясності богослужбових текстів, запропоновані на Помісному Соборі 1917 - 1918 рр.
  5. I.II. Споспоб вирішення проблеми, пропонований нами.
  6. II Общепедагогические методи.
  7. II) процес прийняття рішення про закупівлю

До числа найбільш складних завдань на вступних конкурсних іспитах з математики відносяться завдання, вирішення яких зводиться до розгляду функціональних рівнянь виду

 (5.1)

або

 (5.2)

де  деякі функції і

Методи вирішення функціональних рівнянь (5.1), (5.2) засновані на використанні наступних теорем.

Теорема 5.1.коріння рівняння є корінням рівняння (5.1).

 Доведення. нехай  - корінь рівняння  тобто  . Тоді справедливі рівності

Звідси слідує що

тобто  є коренем рівняння (5.1).

Теорема 5.2.якщо - Зростаюча функція на відрізку то на даному відрізку рівняння (5.1) і рівносильні.

Доведення. нехай  є коренем рівняння (5.1), тобто
 . Припустимо, що  не є коренем рівняння  , Тобто  . Не порушуючи спільності міркувань, будемо вважати, що  Тоді в силу зростання функції

 справедливі нерівності

Так як  , То з наведених вище нерівностей слід  . Таким чином, отримали помилкове нерівність. А це означає, що .

Звідси і з теореми 5.1 випливає справедливість теореми 5.2.

Слідство 1.якщо функція зростає для будь-якого x, то рівняння (5.1) і f (x) = x рівносильні.

Слідство 2.Якщо функція y = f (x) зростає на своїй області визначення, то рівняння (5.1) і f (x) = x рівносильні.

Більш складним є рішення рівняння (5.1) в тому випадку, коли на певному відрізку  функція  є спадною.

В даному випадку мають місце аналогії теореми 5.2 і двох наслідків тільки за умови, що в рівнянні (5.1) число n непарне.

Теорема 5.3.Якщо y = f (x) - спадна функція на відрізку непарне і то на даному відрізку рівняння (5.1) і f (x) = x рівносильні.

Доведення. нехай  є коренем рівняння (5.1), тобто

Припустимо, що  не є коренем рівняння  тобто  . Не порушуючи спільності міркувань, будемо вважати, що  Тоді в силу спадання функції  на відрізку  отримуємо нерівності  і т.д.

Так як  непарне, то .

оскільки  , То з останньої нерівності отримуємо

Так як  - Спадна функція, то  , Тобто  . Отримали протиріччя того, що за припущенням  . отже

Звідси, з урахуванням теореми 5.1, слід справедливість теореми 5.3.

Слідство 3.Якщо функція y = f (x) убуває для будь-якого x і n - непарне, то рівняння (5.1) і f (x) = x рівносильні.

Слідство 4.Якщо функція y = f (x) убуває на своїй області визначення і n - непарне, то рівняння (5.1) і f (x) = x рівносильні.

Так як в розглянутих вище випадках функція  є спадною, то рівняння  може мати тільки один корінь. Оскільки рівняння (5.1) з спадною функцією  і непарних n рівносильне рівнянню  , То рівняння (5.1) також має більше одного кореня.

Якщо в рівнянні (5.1)  - Спадна функція, а n - парне, то в загальному випадку рівняння (5.1) і  не є рівносильними. Наприклад, рівняння  має три кореня  і тільки третій корінь задовольняє рівняння

В даному випадку для пошуку коренів рівняння (5.1) необхідно проводити додаткові дослідження.

Теорема 5.4.якщо - Зростаюча (або спадна) функція на області допустимих значень рівняння (5.2), то рівняння (5.2) і рівносильні.

Доведення. 1) Нехай  - Корінь рівняння (5.2), тобто  Припустимо, що  не є коренем рівняння  тобто  . Не порушуючи спільності міркувань, будемо вважати, що  Звідси в залежності від того, якою є функція y = f (x) на області допустимих значень рівняння (5.2) зростаючої чи спадаючої, отримуємо нерівність  відповідно. У кожному з двох випадком маємо хибне нерівність. значить,

2) Нехай  - корінь рівняння  Звідси випливає

Слідство 5.якщо зростаюча (або спадна) функція на області значень то рівняння (5.2) і рівносильні.

Також слід зазначити, що при вирішенні функціонального рівняння (5.2) необхідно уважно розглядати випадок, коли функція  є парною.

Теорема 5.5.Якщо парна функція визначена на відрізку і зростає (або убуває) при то на даному відрізку рівняння (5.2) рівносильно сукупності рівнянь и за умови, що

Доведення проводиться за аналогією з доказом попередньої теореми. При цьому використовується парність функції

аналіз функції  на монотонність зручно здійснювати за допомогою похідної: якщо функція  дифференцируема на відрізку  , То функція  є зростаючою (спадною) на даному відрізку.



Завдання і рішення | Завдання і рішення
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати