Головна

Означення функції багатьох змінних | Способи задання функції | Теорема 1.1. Якщо функція f(х, y) має границю при (х, y) ® ® (х0, y0), то така границя тільки одна. | С ¹ 0). | Теорема 1.7. Якщо функція неперервна в точці, то вона обмежена деяким околом цієї точки. | Теорема 1.14. Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона й рівномірно неперервна в D. |

Теорема 1.11 (Вейєрштрасса). Якщо функція неперервна на замкненій обмеженій множині, то серед її значень є як найменші, так і найбільші.

  1. II. 14. Что называется циркуляцией вектора магнитного поля в вакууме? Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора ).
  2. II. Нивелирование из середины.
  3. II. Римський період (середина І ст. до н. е. - IV ст. н. е.).

Доведення (від супротивного) аналогічне доведенню відповідної теореми для одновимірного випадку (див.: ч. І, с. 359). Нехай функція , коли (х, у) змінюється в , є необмеженою. Тоді для будь-якого п у знайдеться така точка що

(9)

Згідно з принципом вибору Больцано-Вейєрштрасса (див. ч. І, с. 326) з обмеженої послідовності можна вилучити частинну послідовність , збіжну до граничної точки .

Зауважимо, що ця точка необхідно має належати області D. Справді, у противному разі точки усі були б від неї відмінні, тобто точка була б точкою згущення області D, якій во­на не належить, що неможливо з огляду на замкненість області D.

З неперервності функції в точці випливає:

,

а це суперечить (9).

Друга теорема Вейєрштрасса формулюється й доводиться (з посиланням на попередню теорему) так само, як і в частині І для одновимірного випадку.

Зазначимо, що за аналогією обидві теореми Вейєрштрасса переносяться й на випадок, коли функція неперервна в будь-якій обмеженій замкненій множині М.

Як і в разі функції однієї змінної, для функції , визначеної та обмеженої у множині М, різниця між точними верхньою і нижньою межами її значень в М називається коливанням функ­ції в цій множині. Якщо М - обмежена й замкнена (зокрема, якщо М є обмежена замкнена область) і функція у ній неперерв­на, то коливанням є різниця між найбільшим і найменшим її значенням.

Рис. 1.18

Теорема 1.12 (про нуль неперервної функції). Нехай функція неперервна на зв'язній множині D і набуває у двох точках А і В цієї множини значень різних знаків. Тоді у множині D знайдеться така точка, що в ній функція перетворюється на нуль.

Доведення побудуємо на зведенні до випадку функції однієї незалежної змінної.

Оскільки область D зв'язна, точки та можна сполучити ламаною, усі точки якої лежать у D. Якщо поступово перебирати вершини ламаної, то або з'ясується, що в деякій із них функція перетворюється на нуль - і тоді теорему доведено, або цього не буде. В останньому випадку знайдеться така ланка ламаної, на кінцях якої функція набуває значень різних знаків. Замінивши позначення точок, вважатимемо, що і саме і є кінцями цієї ланки. Її рівняння мають вигляд:

Якщо точка рухається вздовж цієї сторони, то початкова функція перетворюється на складену функцію однієї змінної t:

,

очевидно, неперервну за теоремою 1.6 з огляду на неперервність як функції так і лінійних функцій від підставлених замість її аргументів. Але для маємо:

Застосовуючи до функції однієї змінної доведену для одновимірного випадку аналогічну теорему (див.: ч. І, с. 357) маємо, що при деякому значенні між 0 та 1. Тоді згідно з означенням функції можемо записати:

Точка , де і є шуканою.

Теорема 1.13 (про проміжне, або середнє значення). Нехай функція неперервна на зв'язній множині D й у двох будь-яких точках А та В цієї множини набуває нерівних значень і . Тоді на цій множині вона набуває деякого значення М, яке лежить між і тобто існує така
точка , що

Доведення аналогічне доведенню теореми Коші для функції однієї змінної (див.: ч. І, с. 358), тобто випливає з теореми 1.12 (про нуль неперервної функції).



Яка збігається до граничної точки. | Рівномірна неперервність
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати