Головна

Означення функції багатьох змінних | Способи задання функції | Яка збігається до граничної точки. | Теорема 1.11 (Вейєрштрасса). Якщо функція неперервна на замкненій обмеженій множині, то серед її значень є як найменші, так і найбільші. | Рівномірна неперервність | Теорема 1.14. Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона й рівномірно неперервна в D. |

С ¹ 0).

  1. Если AÌB, но A¹B , будем говорить, что A - строгое подмножество множества B.

Означення.Якщо , то функція називається нескінченно малоюпри

Обчислити .

●Застосувавши теорему 1.5 про арифметичні операції над границями, а також узявши до уваги те, що границя сталої величини дорівнює цій сталій, тобто

дістанемо:

Обчислити .

●Візьмемо ху = t. Тоді з того, що (х, у) ® (0, 0), випливає t ® 0 і задану границю можна подати у вигляді . При t ® 0 маємо: , . Отже,

.

Звідси, .

Зауваження. Поняття границі в точці для функції однієї змінної та функції багатьох змінних мають багато спільного, але існує й принципова різниця, з огляду на яку поняття границі функ­ції кількох змінних є істотно більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.

Так, для функції багатьох змінних справджуються теореми про границю суми, добутку та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції однієї змінної.

Водночас маємо такі розбіжності між цими поняттями:

Якщо (f(x) - функція однієї змінної), то це означає, що і лівостороння і правостороння границі її дорівнюють b. Обернене твердження також правильне: з існування та збігу двох односторонніх границь випливає існування границі функції в
точці.

Для функції двох змінних наближення до точ-
ки (х0, у0) можливе нескінченною кількістю способів: і спра-
ва, і зліва, і згори, і знизу, і під деяким кутом до осі х тощо (рис. 1.15).

Більш того, до точки можна наближатися не лише по прямій, а й по складніших траєкторіях (рис. 1.16).

Рис. 1.15 Рис. 1.16

Очевидно, що рівність справджується тоді й тільки тоді, коли границя досягається в результаті наближення до точки (х0, у0) по будь-якій траєкторії. Отже, маємо істотне обмеження порівняно зі збігом двох односторонніх границь у разі функції однієї змінної.

Довести, що не існує.

· Наближатимемося до точки (0, 0) по прямій у = kx.

Якщо у = kx, то

.

Зауважимо, що значення границі залежить від кутового коефіцієнта прямої, наприклад:

при k = 1 границя дорівнює ,

при k = 2 границя дорівнює і т. д.

Отже, наближаючись до точки (0, 0) у різних напрямах, дістаємо різні границі. Це означає, що не існує.

Зауваження. Для функцій n > 1 змінних можна розглядати n! так званих повторних границь.

У частинному випадку для функції двох змінних можна розглядати дві повторні границі в точці (х0, у0):

і .

Наприклад, для функції маємо:

Отже, змінювати порядок граничних переходів загалом не можна.

Скажімо, у попередньому прикладі не існує, але повторні границі існують: .

1.1.8. Неперервність функції двох змінних

Означення. Функція називається неперервною в точці , якщо

.

Означення. Функція називається неперервною в області(замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Означення. Функцію , визначену на множині D Ì R2, називають неперервною за множиною Е Ì D в точці (х0, у0) D, якщо

.

Означення. Точка називається точкою розриву функ­ції , якщо:

1) функція не визначена в точці ;

2) функція визначена в точці , проте:

а) не існує;

б) існує, але не дорівнює .

Означення. Точка називається точкою усувного розривуфункції , якщо існує, але або не визначена в точці , або

Розглянемо функцію двох незалежних змінних

Ця функція має розрив у точці (0, 0), бо в ній для функції границі не існує.

Тут ми стикаємося з цікавим явищем: розглядувана функція не є неперервною в точці (0, 0) за двома змінними водночас, але є неперервною за кожною зі змінних х і у окремо.

Точки розриву можуть бути не лише ізольованими, як у попередньому прикладі, а можуть заповнювати
лінії, поверхні тощо. Так, функції двох змінних , мають розриви: перша - прямі друга - окіл Для функції трьох змінних

,

розриви заповнюють відповідно гіперболічний параболоїд і конус

Знайти

.

●Для будь-якого існує , таке що для всіх точок , які задовольняють умову і відмінні від початку координат, справджується нерівність

Отже,

.

Знайти границю функції

в точці (0, 0) за множиною, на якій функція визначена.

●Зауважимо, що функція не визначена в точках прямої . Тому звичайної границі в точці (0, 0) не існує. Але границя за множиною точок , на якій функція визначена, існує і дорівнює нулю, оскільки

.

Знайти значення а, при якому функція

в точці (0, 0):

1) є неперервною за прямою , , ;

2) неперервною за кривою ;

3) неперервною.

●1. Наближатимемося до точки (0, 0) по прямій , , . Це означає, що виконуються рівності:

.

Якщо , то дана функція буде неперервною за даною прямою.

2. Наближатимемося до точки (0, 0) по кривій :

.

Якщо , то розглядувана функція буде неперервною за даною прямою.

3. У точці (0, 0) функція має розрив, оскільки в ній границя не існує. Це випливає з 1 і 2.

Знайти точки розриву, а також точки усувного розриву функції двох змінних:

1) ;

2) .

●1. Функція в точці (0, 0) не існує, тому вона має в цій точці розрив. Знайдемо границю

.

Для будь-якого існує , таке що для всіх точок , які задовольняють умову і відмінні від початку координат, виконується нерівність

.

Отже, і функція має в точці (0, 0) усувний розрив, якщо у цій точці.

2. Функція не існує, якщо , тобто , , .

Тому вона має розриви. Знайдемо границю

.

Отже, функція має в точці неусувний розрив.

1.1.9. Неперервність складеної
(складної) функції двох змінних

Означення.Нехай функція визначена на множині Е, а змінні і , у свою чергу, залежать від змінних х і у: причому обидві функції та визначені на множині D. Якщо для будь-якого існує значення (рис. 1.17), то говорять, що на множині визначено складену (складну) функцію де - проміжні, х, у - незалежні змінні.

Рис. 1.17

Функція де . Це складена функція, яка визначена на координатній площині. Її можна записати у вигляді

.

Теорема 1.6. Нехай на множині D визначено складену функ­цію , де , і нехай функції , неперервні в точці , а функція неперервна в точці , де , . Тоді складена функція неперервна в точці .

Доведення. За умовою теореми функція неперервна. За означенням неперервності функції в точці візьмемо довільне число , тоді існує таке , що з нерівності

(5)

випливає нерівність

.

Аналогічно, функції і за умовою теореми неперервні, тому існують такі і , що з нерівностей

і

випливають нерівності

; (6)

. (7)

Нехай . Тоді з нерівності

(8)

дістанемо нерівності (6) і (7).

З урахуванням нерівностей (6) і (7) для нерівності (5) запишемо:

Отже, якщо виконується нерівність (8), маємо

,

а це означає, що складена функція неперервна в точці ¨

1.1.10. Властивості неперервної
функції двох змінних



Теорема 1.1. Якщо функція f(х, y) має границю при (х, y) ® ® (х0, y0), то така границя тільки одна. | Теорема 1.7. Якщо функція неперервна в точці, то вона обмежена деяким околом цієї точки.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати