Головна

Чисельні методи розв'язання систем рівнянь.

  1. CAD-системи
  2. D.3. Системи економетричних рівнянь
  3. Google_protectAndRun ( "render_ads.js :: google_render_ad", google_handleError, google_render_ad); Житлові будинки з каркасними безрігельной системами
  4. Grid-системи
  5. HLA - система; класи антигенів, біологічні функції, практичне значення HLA-типування.
  6. I'a-чштіе школи і становлення шкільної системи
  7. I. Методи суворо регламентованого вправи.

Мета роботи: Вивчення можливостей пакету Ms Excel при вирішенні задач лінійної алгебри. Придбання навичок вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь і виконання дій над матрицями засобами пакета.

завдання: вирішити систему рівнянь методом Гаусса, методом LU-розкладання, методом Зейделя

Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

Нехай задана СЛАР такого вигляду:

Цю систему можна представити в матричному вигляді: AX = b, де

 - Матриця коефіцієнтів системи рівнянь;
 - Вектор невідомих,  - Вектор правих частин.

При виконанні лабораторної роботи систему лінійних алгебраїчних рівнянь необхідно буде вирішувати методом зворотної матриці і методом Крамера. Згадаймо основні формули, що використовуються в цих методах.

Метод оберненої матриці

Систему лінійних алгебраїчних рівнянь AX = b помножимо зліва на матрицю, зворотну до А. Система рівнянь прийме вигляд:

A-1AX = A-1b, EX = A-1b, (E - одинична матриця)

Таким чином, вектор невідомих обчислюється за формулою X = A-1b.

метод Крамера

В цьому випадку невідомі x1, x2, ..., Xn обчислюються за формулою:

 де  - Визначник матриці A,  - Визначник матриці, одержуваної з матриці А шляхом заміни i-го стовпця вектором b.  

Зверніть увагу на особливість роботи з матричними формулами: необхідно попередньо виділяти область, в якій буде зберігатися результат, а після отримання результату перетворювати його до матричних увазі, натиснувши клавіші F2 и Ctrl + Shift + Enter.

Тепер розглянемо рішення системи лінійних рівнянь методом оберненої матриці та методом Крамера на наступних прикладах.

ПРИКЛАД 3.1. Вирішити систему методом зворотної матриці:

В цьому випадку матриця коефіцієнтів А і вектор вільних коефіцієнтів b мають вигляд:

 

введемо матрицю A і вектор b в робочий лист MS Excel (рис. 3.1).

 Мал. 3.1

У нашому випадку матриця А знаходиться в осередках B1: Е4, А вектор b в діапазоні G1: G4. Для вирішення системи методом зворотної матриці необхідно обчислити матрицю, зворотну до A. Для цього виділимо осередки для зберігання зворотної матриці (це потрібно зробити обов'язково !!!); нехай в нашому випадку це будуть осередки B6: E9. Тепер звернемося до майстра функцій, і в категорії Математичні виберемо функцію МОБР, Призначену для обчислення зворотної матриці (рис. 3.2), натиснувши кнопку OK, Перейдемо до другого кроку майстра функцій. У діалоговому вікні, що з'являється на другому кроці майстра функцій, необхідно заповнити поле введення Масив (рис. 3.3). Це поле повинно містити діапазон комірок, в якому зберігається вихідна матриця - в нашому випадку B1: E4. Дані в поле введення Масив можна ввести за допомогою клавіатури або виділивши їх на робочому аркуші, утримуючи ліву кнопку миші.

 Мал. 3.2
 Мал. 3.3

Якщо поле Масив заповнене, можна натиснути кнопку OK. У першій клітинці, виділеного під зворотну матрицю діапазону, з'явиться певна кількість. Для того щоб отримати всю зворотну матрицю, необхідно натиснути клавішу F2 для переходу в режим редагування, а потім одночасно клавіші Ctrl + Shift + Enter. У нашому випадку робоча книга MS Excel набуде вигляду зображений на рис. 3.4.

 Мал. 3.4

Тепер необхідно помножити отриману зворотну матрицю на вектор b. Виділимо осередки для зберігання результуючого вектора, наприклад H6: H9. Звернемося до майстра функцій, і в категорії математичні виберемо функцію МУМНОЖ, Яка призначена для множення матриць. Нагадаємо, що множення матриць відбувається за правилом рядок на стовпець і матрицю А можна помножити на матрицю В тільки в тому випадку, якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В. Крім того, при множенні матриць важливий порядок співмножників, т. Е. АВ ? ВА

Перейдемо до другого кроку майстра функцій. Що з'явилося діалогове вікно (рис. 3.5) містить два поля введення массів1 и массів2. В полі массів1 необхідно ввести діапазон комірок, в якому міститься перша з перемножуєте матриць, в нашому випадку B6: E9 (Зворотна матриця), а в поле массів2 осередки, які містять другу матрицю, в нашому випадку G1: G4 (вектор b).

 Мал. 3.5

Якщо поля введення заповнені, можна натиснути кнопку OK. У першій клітинці виділеного діапазону з'явиться відповідне число результуючого вектора. Для того щоб отримати весь вектор, необхідно натиснути клавішу F2, А потім одночасно клавіші Ctrl + Shift + Enter. У нашому випадку результати обчислень (вектор х), Знаходиться в осередках H6: H9.

Для того щоб перевірити, чи правильно вирішена система рівнянь, необхідно помножити матрицю A на вектор x і отримати в результаті вектор b. множення матриці A на вектор x здійснюється за допомогою функції МУМНОЖ (В1: Е4; Н6: Н9), Так як було описаної вище.

В результаті проведених обчислень робочий лист набуде вигляду зображений на рис. 3.6.

 Мал. 3.6

ПРИКЛАД 3.2. Вирішити систему із прикладів 3.1 методом Крамера.

введемо матрицю А і вектор b на робочий лист. Крім того, сформуємо чотири допоміжні матриці, замінюючи послідовно стовпці матриці A на стовпець вектора b (Рис. 3.7).

Для подальшого вирішення необхідно обчислити визначник матриці A. Встановимо курсор в осередок I10 і звернемося до майстра функцій. У категорії математичні виберемо функцію МОПРЕД, Призначену для обчислення визначника матриці, і перейдемо до другого кроку майстра функцій. Діалогове вікно, що з'являється на другому кроці містить поле введення масив. У цьому полі вказують діапазон матриці, визначник якої обчислюють. У нашому випадку це осередки B1: E4.

Для обчислення допоміжних визначників введемо формули:

I11 = МОПРЕД (B6: E9), I12 = МОПРЕД (B11: E14),
I13 = МОПРЕД (B16: E19), I14 = МОПРЕД (B21: E24).

В результаті в комірці I10 зберігається головний визначник, а в осередках I11: I14 - Допоміжні.

Скористаємося формулами Крамера і розділимо послідовно допоміжні визначники на головний. У осередок K11 введемо формулу = I11 / $ I $ 10. Потім скопіюємо її вміст в осередку K12, K13 и K14. Система вирішена.

 Мал. 3.7

ПРИКЛАД 3.3. обчислити матрицю С за формулою: C = A2 + 2AB, де

Введемо вихідні дані на робочий лист (рис. 3.8).

Для множення матриці А на матрицю В, Виділимо діапазон B5: D7 і скористаємося функцією МУМНОЖ (B1: D3; G1: I3).

результат обчислення A2= A * A помістимо в осередку G5: I7, Скориставшись формулою МУМНОЖ (B1: D3; B1: D3).

Множення (ділення) матриці на число можна виконати за допомогою елементарних операцій. У нашому випадку необхідно помножити матрицю з діапазону B5: D7 на число 2. Виділимо осередки B9: D11 і введемо формулу = 2 * B5: D7.

Додавання (віднімання) матриць виконується аналогічно. Наприклад, виділимо діапазон G9: I11 і введемо формул = B9: D11 + G5: I7.

Для отримання результату в обох випадках необхідно натиснути комбінацію клавіш Ctrl + Shift + Enter.

Крім того, в рядку формул робочого аркуша, зображеного на рис. 3.8, показано як можна обчислити матрицю С одним виразом.

 Мал. 3.8

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ

  1. Вирішити систему рівнянь методом Крамера.
  2. Вирішити систему рівнянь за допомогою зворотної матриці.
  3. Виконати дії над матрицями.

При вирішенні систем обов'язково виконати перевірку.

 варіант №1  1)  2)
         
   
 варіант №2  1)  2)
         
   
 варіант №3  1)  2)
         
   
 варіант №4  1)  2)
         
   
 варіант №5  1)  2)
         
   
 варіант №6  1)  2)
         
   
 варіант №7  1)  2)
         
   
 варіант №8  1)  2)
         
   
 варіант №9  1)  2)
         
   
 варіант №10  1)  2)
         
   
 варіант №11  1)  2)
         
 3) (2A-B) (3А + B) -2АВ,    
 варіант №12  1)  2)
         
   
 варіант №13  1)  2)
         
 3) (A + B) A-B (2А + 3В),    
 варіант №14  1)  2)
         
 3) A (2A + B) -B (А-В),    
 варіант №15  1)  2)
         
 3) 3 (A + B) (AВ-2А),    
 варіант №16  2)
       
 
 варіант №17  1)  2)
         
 3) 2А + 3B (АВ-2А),    
 варіант №18  1)  2)
         
   
 варіант №19  1)  2)
         
 3) 2A - АВ (В - А) + В,    
 варіант №20  1)  2)
         
   
 варіант №21  1)  2)
         
   
 варіант №22
   
 варіант №23  1)  2)
         
 3) а (A - B) + 2в (A + В),    
 варіант №24  1)  2)  
           
     
 варіант №25
   
 варіант №26
   
 варіант №27
   
 варіант №28
   
 варіант №29
   
 варіант №30
   

 



завдання | Чисельні методи інтегрування.

наближення функцій | Приклад виконання роботи. | Лабораторна робота № 2. | Зворотній інтерполяціонная формула Ньютона | Побудова сплайн-функції. | Чисельні методи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь. | Методи чисельної оптимізації. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати