Головна

Приклад виконання роботи.

  1. A. Порядок виконання роботи
  2. I I. Орієнтовна тематика курсових робіт
  3. I. 10. Опишіть принципову схему установки і хід виконання лабораторної роботи.
  4. I. 5. Сформулюйте принцип суперпозиції для вектора. Наведіть приклади.
  5. I. Приблизний перелік питань для підготовки до іспиту
  6. I. Цілі і завдання виконання курсової роботи
  7. I. Мета і завдання роботи.

1. Розпад функцій в ряд Тейлора:

Розглянемо розкладання в ряд Тейлора функції  . Загальна формула розкладання в ряд Тейлора в околі точки  за ступенями  має вигляд

 , (1)

де  - Помилка обмеження, яку можна визначити за формулою

 , (2)

де  знаходиться між и .

Відповідно до формул (1) і (2), розкладання функції в ряд Тейлора з шістьма членами з урахуванням  виглядає так:

.

Помилка при такій апроксимації складе

.

Максимально можливе значення помилки апроксимації при розкладанні даної функції в ряд Тейлора з шістьма членами становить

Аналогічно розкладемо функцію в ряд Тейлора з одинадцятьма членами:

.

Помилка при такій апроксимації складе

.

Максимально можливе значення помилки апроксимації при розкладанні даної функції в ряд Тейлора з шістьма членами становить

розкладемо функцію в ряд Тейлора з двадцятьма членами:

.

Помилка при такій апроксимації складе

.

Максимально можливе значення помилки апроксимації при розкладанні даної функції в ряд Тейлора з шістьма членами становить

Ми бачимо, що при підвищенні порядку аппроксимирующего полінома точність апроксимації зростає нелінійно: при розкладанні функції  в ряд Тейлора з 6 членами порядок помилки обмеження становить 10-4, При розкладанні в ряд з 11 членами - 10-9, А при використанні ряду з 20 членами - вже 10-20.

Розглянемо тепер розкладання в ряд Тейлора функції  . Знову скористаємося формулами (1) і (2):

розкладання функції в ряд Тейлора з шістьма членами з урахуванням  виглядає так:

.

Помилка при такій апроксимації складе

Оскільки порядок статечної функції, розкладається в ряд Тейлора, менше кількості членів в цьому ряду, апроксимуюча функція тотожна аппроксимируемой, отже, помилка апроксимації дорівнює нулю.

розкладання функції  в ряд Тейлора з трьома і більше членами неактуально, оскільки таке розкладання буде в точності повторювати вихідну функцію. Відповідно, немає необхідності виконувати розкладання в ряди з 11 і 20 членами і обчислювати для них помилку апроксимації - результати будуть такими ж, як у наведеному вище розкладанні в ряд з 6 членами.

2. Апроксимація функцій за допомогою поліномів Чебишева

Будь-яку функцію на відрізку [-1; 1] можна представити як лінійну комбінацію полиномов Чебишева :

 (3)

поліноми Чебишева  визначаються наступним чином:

Або по рекуррентной формулою:

коефіцієнти розкладання  визначаються за формулами

 (4)

Уявімо вихідну функцію  у вигляді лінійної комбінації шести полиномов Чебишева, використовуючи формули (3) і (4):

У загальному випадку розкладання функції поліномами Чебишева виглядає наступним чином:

де n - необхідна кількість поліномів Чебишева в розкладанні функції.

З результатів розрахунків видно, що апроксимація функцій поліномами Чебишева дає точніші результати в порівнянні з розкладанням функцій в ряд Тейлора, особливо при невеликих кількостях елементів ряду. При розкладанні даної функції в ряд Тейлора з 6 членами точність розрахунків на рівні 10-4, А при апроксимації функції лінійної комбінацією з 6 поліномів Чебишева - вже 10-6.

Уявімо функцію  у вигляді лінійної комбінації шести полиномов Чебишева, використовуючи формули (3) і (4):

Розрахуємо значення функцій в точках -1, 0 і 1 і їх відхилення від значень вихідної функції в цих точках:

3. Економізація статечних рядів

Метод економізації рядів полягає в коригуванні коефіцієнтів часткової суми степеневого ряду функції f (x). Він складається з наступної послідовності дій:

  1. Обчислити необхідне число коефіцієнтів степеневого ряду для наближення функції f (x) з необхідною точністю на відрізку [A, b];
  2. Зробити заміну змінних для відображення інтервалу [A, b] в інтервал [-1,1];
  3. Знайти коефіцієнти розкладання отриманого полінома за поліномами Чебишева;
  4. В отриманому розкладанні взяти перші k членів так, щоб коефіцієнт при Tk + 1 за абсолютною величиною був менше необхідної точності обчислень;
  5. Уявити отриману суму многочленом стандартного вигляду;
  6. Зробити зворотний заміну змінних.

Метод економізації рядів дозволяє поширити помилку обмеження по всьому інтервалу, при цьому зменшивши кількість необхідних для обчислення доданків.

для функції .

З методу розкладання функції в ряд Тейлора маємо

За допомогою методу наближення функції поліномами Чебишева отримаємо

Поліноми Чебишева є такі вирази:

підставляючи T1 - T9 в х11, отримаємо

підставами х11 в вираз для ряду Тейлора:

 значення T11 на даному інтервалі (x? [-1; 1]) по модулю не перевищує 1; для оцінки помилки приймемо T11= 1:

Відхилення значення полінома fЭ(X) від істинного значення функції  становить

Зауважимо, що порядок наближає полінома дорівнює 9. Порівняємо значення помилки наближення з помилкою при використанні ряду Тейлора дев'ятого ступеня:

Ми бачимо, що помилка наближення функції за допомогою ряду Тейлора майже в п'ять разів більше, ніж при прбліженіі цієї функції поліномом, отриманим за методом економізації статечних рядів (при тому ж порядку полінома). З отриманих значень можна зробити наступний висновок: економізація статечного ряду дозволяє отримати в 5 разів більше точний результат, ніж звичайний ряд Тейлора, при незначному ускладненні обчислень.

 



наближення функцій | Лабораторна робота № 2.

Зворотній інтерполяціонная формула Ньютона | Побудова сплайн-функції. | завдання | Чисельні методи розв'язання систем рівнянь. | Чисельні методи інтегрування. | Чисельні методи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь. | Методи чисельної оптимізації. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати