Головна |
дискретної називають випадкову величину, можливі значення якої є окремі ізольовані числа, які ця величина приймає з певними можливостями.
закон розподілу дискретної випадкової величини називають перелік її можливих значень і відповідних їм ймовірностей. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х може бути заданий у вигляді таблиці:
Х | Х1 | Х2 | ... | Xn |
P | Р1 | P2 | ... | Pn |
де
Характеристикою середнього значення випадкової величини служить математичне очікування.
математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень на їх імовірності:
М (Х) = .
Якщо дискретна випадкова величина приймає рахункове безліч можливих значень, то
Математичне сподівання має такі властивості.
властивість 1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійної: М (С) = С.
властивість 2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: М (СХ) = СМ (Х).
властивість 3. Математичне сподівання добутку взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань співмножників:
М (Х1Х2 ... Хn) = М (Х1 ) * М (Х2 ) ... М (Хn).
властивість 4. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків:
.
Приклад 1. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини Х, заданої законом розподілу законом розподілу:
А)
Х | -4 | ||
Р | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Б)
Х | 0.21 | 0.54 | 0.61 |
Р | 0,1 | 0,5 | 0,4 |
Рішення. А) Математичне сподівання дорівнює сумі творів всіх можливих значень Х на їх ймовірності: М (Х) = - 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 = 6.
Завдання 1. Знайти математичне сподівання випадкової величини Z, якщо відомі математичні очікування Х і У: А) Z = X = 2Y, М (Х) = 5, М (У) = 3; б) Z = 3X + 4Y, М (Х) = 2, М (У) = 6.
відповідь:11
завдання 2. Дискретна випадкова величина Х приймає три можливих значення: х1= 4 з ймовірністю р1= 0,5; х2= 6 з ймовірністю р2= 0,3 і х3 з ймовірністю р3. знайти х3 і р3, Знаючи, що М (Х) = 8.
відповідь:х3= 21; р3= 0,2.
завдання 3. Дан перелік можливих значень дискретної величини Х: х1= 1, х2= 2, х3= 3, а також відомі математичні очікування цієї величини і її квадрата: М (Х) = 2.3, М (Х2) = 5,9. Знайти ймовірності, відповідні можливих значеннях Х.
відповідь:р1= 0,2; р2= 0,3; р3= 0,5.
завдання 4. Дан перелік можливих значень дискретної величини Х: х1 = -1, Х2 = 0, х3= 1, а також відомі математичні очікування цієї величини і її квадрата: М (Х) = 0,1, М (Х2) = 0,9. Знайти ймовірності р1, р2, р3, відповідні можливих значеннях х1, х2, х 3.
відповідь: р1= 0,4; р2= 0,1; р3= 0,5.
завдання 5. Використовуючи властивість математичного очікування, довести, що а) М (Х-У) = М (Х) -М (У); б) математичне сподівання відхилення Х-М (Х) дорівнює нулю.
завдання 6. У партії з 10 деталей міститься три нестандартних. Навмання відібрано дві деталі. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини Х-числа нестандартних деталей серед двох відібраних.
Відповідь: 3/5
завдання 7. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини Х-число таких бросаний п'яти гральних кісток, в кожному з яких на двох кістках з'явиться по одному очку, якщо загальне число бросаний одно двадцяти.
відповідь:M (x) = nP = 20
Завдання 8. Кидають n гральних кісток. Знайти математичне сподівання суми числа очок, які випадуть на всіх гранях.
відповідь:М (х) = (7/2) n
завдання 9. Випадкова величина Х приймає значення 3 і 4 з рівними можливостями випадкова величина У приймає значення 1 і 2 також з рівними можливостями. Величини Х і У розподілені незалежно один від одного. Мінлива Z визначається як Z = X / Y і має чотири можливих значення? Кожне з ймовірністю 0,25:
Х У | ||
3,01,5 | 4,02,0 |
Покажіть, що E (Z) не дорівнює Е (Х) / Е (У).
Дисперсія випадкової величини
Нехай X -Випадкові величина і M (X) -її математичне очікування.
відхиленням називають різницю між випадковою величиною і її математичним очікуванням X - M (X).
Якщо у X закон розподілу:
X | x | ... | x |
P | p | ... | p |
то у відхилення закон розподілу:
X-M (X) | x | ... | x |
P | p | ... | p |
Теорема 1. Математичне сподівання відхилення дорівнює нулю:
M [X-M (X)] = 0
Іноді замість терміна «відхилення» використовують термін «центрована величина».
дисперсією (Розсіюванням) випадкової величини називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування: D (X) = M (X ) - [M (X)] .
Теорема 2.Дисперсія дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Х і квадратом її математичного очікування: .
приклад 1
Знайти дисперсію випадкової величини X, яка задана наступним законом розподілу:
X | ||||
P | 0,3 | 0,5 | 0,2 | / Через відхилення / |
Рішення: Знайдемо математичне сподівання:
M (X) = 1 * 0,3 + 2 * 0,5 + 5 * 0,2 = 2,3.
Знайдемо всі можливі значення квадрата відхилення:
[x
[x
[x
Напишемо закон розподілу квадрата відхилення:
[X-M (X)] | 1,69 | 0,09 | 7,29 |
P | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
За визначенням, d (X) = 1,69 * 0,3 + 0,09 * 0,5 + 7,29 * 0,2 = 2,01.
відповідь: 2,01.
Завдання 1. Кинуті 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума очок на випавших гранях дорівнює 7. | приклад 2
Вступ | Завдання 1. Випадкова величина задана законом розподілу | приклад 1 | приклад 1 | приклад 3 | Завдання 4. У результаті п'яти вимірювань довжини стрижня одним приладом (без систематичних помилок) отримані наступні результати (в мм.): 92; 94; 103; 105; 106. | Елементи математичної статистики |