Головна

Практичне заняття 2 Математичне сподівання і теоретична дисперсія випадкової величини

  1. HLA - система; класи антигенів, біологічні функції, практичне значення HLA-типування.
  2. I заняття
  3. I заняття
  4. I заняття
  5. I ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА
  6. I. Теоретична частина
  7. II заняття

дискретної називають випадкову величину, можливі значення якої є окремі ізольовані числа, які ця величина приймає з певними можливостями.

закон розподілу дискретної випадкової величини називають перелік її можливих значень і відповідних їм ймовірностей. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х може бути заданий у вигляді таблиці:

Х Х1 Х2  ... Xn
P Р1 P2  ... Pn

де

Характеристикою середнього значення випадкової величини служить математичне очікування.

математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень на їх імовірності:

М (Х) = .

Якщо дискретна випадкова величина приймає рахункове безліч можливих значень, то

Математичне сподівання має такі властивості.

властивість 1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійної: М (С) = С.

властивість 2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: М (СХ) = СМ (Х).

властивість 3. Математичне сподівання добутку взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань співмножників:

М (Х1Х2 ... Хn) = М (Х1 ) * М (Х2 ) ... М (Хn).

властивість 4. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків:

.

Приклад 1. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини Х, заданої законом розподілу законом розподілу:

А)

Х  -4
Р  0,2  0,3  0,5

Б)

Х  0.21  0.54  0.61
Р  0,1  0,5  0,4

Рішення. А) Математичне сподівання дорівнює сумі творів всіх можливих значень Х на їх ймовірності: М (Х) = - 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 = 6.

Завдання 1. Знайти математичне сподівання випадкової величини Z, якщо відомі математичні очікування Х і У: А) Z = X = 2Y, М (Х) = 5, М (У) = 3; б) Z = 3X + 4Y, М (Х) = 2, М (У) = 6.

відповідь:11

завдання 2. Дискретна випадкова величина Х приймає три можливих значення: х1= 4 з ймовірністю р1= 0,5; х2= 6 з ймовірністю р2= 0,3 і х3 з ймовірністю р3. знайти х3 і р3, Знаючи, що М (Х) = 8.

відповідь:х3= 21; р3= 0,2.

завдання 3. Дан перелік можливих значень дискретної величини Х: х1= 1, х2= 2, х3= 3, а також відомі математичні очікування цієї величини і її квадрата: М (Х) = 2.3, М (Х2) = 5,9. Знайти ймовірності, відповідні можливих значеннях Х.

відповідь:р1= 0,2; р2= 0,3; р3= 0,5.

завдання 4. Дан перелік можливих значень дискретної величини Х: х1 = -1, Х2 = 0, х3= 1, а також відомі математичні очікування цієї величини і її квадрата: М (Х) = 0,1, М (Х2) = 0,9. Знайти ймовірності р1, р2, р3, відповідні можливих значеннях х1, х2, х 3.

відповідь: р1= 0,4; р2= 0,1; р3= 0,5.

завдання 5. Використовуючи властивість математичного очікування, довести, що а) М (Х-У) = М (Х) -М (У); б) математичне сподівання відхилення Х-М (Х) дорівнює нулю.

завдання 6. У партії з 10 деталей міститься три нестандартних. Навмання відібрано дві деталі. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини Х-числа нестандартних деталей серед двох відібраних.

Відповідь: 3/5

завдання 7. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини Х-число таких бросаний п'яти гральних кісток, в кожному з яких на двох кістках з'явиться по одному очку, якщо загальне число бросаний одно двадцяти.

відповідь:M (x) = nP = 20

Завдання 8. Кидають n гральних кісток. Знайти математичне сподівання суми числа очок, які випадуть на всіх гранях.

відповідь:М (х) = (7/2) n

завдання 9. Випадкова величина Х приймає значення 3 і 4 з рівними можливостями випадкова величина У приймає значення 1 і 2 також з рівними можливостями. Величини Х і У розподілені незалежно один від одного. Мінлива Z визначається як Z = X / Y і має чотири можливих значення? Кожне з ймовірністю 0,25:

 Х У
 3,01,5  4,02,0

Покажіть, що E (Z) не дорівнює Е (Х) / Е (У).

Дисперсія випадкової величини

Нехай X -Випадкові величина і M (X) -її математичне очікування.

відхиленням називають різницю між випадковою величиною і її математичним очікуванням X - M (X).

Якщо у X закон розподілу:

X x  ... x
P p  ... p

то у відхилення закон розподілу:

 X-M (X) x  ... x
P p  ... p

Теорема 1. Математичне сподівання відхилення дорівнює нулю:

M [X-M (X)] = 0

Іноді замість терміна «відхилення» використовують термін «центрована величина».

дисперсією (Розсіюванням) випадкової величини називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування: D (X) = M (X  ) - [M (X)] .

Теорема 2.Дисперсія дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Х і квадратом її математичного очікування: .

приклад 1

Знайти дисперсію випадкової величини X, яка задана наступним законом розподілу:

X  
P  0,3  0,5  0,2  / Через відхилення /

Рішення: Знайдемо математичне сподівання:

M (X) = 1 * 0,3 + 2 * 0,5 + 5 * 0,2 = 2,3.

Знайдемо всі можливі значення квадрата відхилення:

[x

[x

[x

Напишемо закон розподілу квадрата відхилення:

 [X-M (X)]  1,69  0,09  7,29
P  0,3  0,5  0,2

За визначенням, d (X) = 1,69 * 0,3 + 0,09 * 0,5 + 7,29 * 0,2 = 2,01.

відповідь: 2,01.

Завдання 1. Кинуті 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума очок на випавших гранях дорівнює 7. | приклад 2


Вступ | Завдання 1. Випадкова величина задана законом розподілу | приклад 1 | приклад 1 | приклад 3 | Завдання 4. У результаті п'яти вимірювань довжини стрижня одним приладом (без систематичних помилок) отримані наступні результати (в мм.): 92; 94; 103; 105; 106. | Елементи математичної статистики |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати