Теорема Гаусса для електростатичного поля в вакуумі.

Визначимо потік напруженості електростатичного поля зарядів q₁, q₂, ... Q_n в вакуумі (e = 1) через довільну замкнуту поверхню, навколишню ці заряди.

Розглянемо спочатку випадок сферичної поверхні радіусом R, навколишнього один заряд + q, що знаходиться в її центрі (рис.1.7).

 , де  - Є інтеграл по замкнутій поверхні сфери. У всіх точках сфери модуль вектора  однаковий, а сам він спрямований перпендикулярно поверхні. отже  . Площа поверхні сфери дорівнює  . Звідси слідує що

.

 Отриманий результат буде справедливий і для поверхні S ? довільної форми, так як її пронизує така ж кількість силових ліній.

На малюнку 1.8 представлена ??довільна замкнута поверхня, що охоплює заряд q> 0. Деякі лінії напруженості то виходять з поверхні, то входять в неї. Для всіх ліній напруженості кількість перетинань із поверхнею є непарним.

Як зазначалося в попередньому параграфі, лінії напруженості, що виходять з обсягу, обмеженого замкнутою поверхнею, створюють позитивний потік Ф_е; лінії ж, що входять в обсяг, створюють негативний потік-Ф_е. Потоки ліній при вході і виході компенсуються. Таким чином, при розрахунку сумарного потоку через всю поверхню слід враховувати лише одне (НЕ скомпенсованих) перетин замкнутої поверхні кожної лінією напруженості.

Якщо заряд q не охоплюється замкнутою поверхнею S, то кількість силових ліній, що входять в дану поверхню і виходять з неї, однаково (рис.1.9). Сумарний потік вектора  через таку поверхню дорівнює нулю: Ф_Е= 0.

 Розглянемо самий загальний випадок поверхні довільної форми, що охоплює n зарядів. За принципом суперпозиції електростатичних полів напруженість  , Створювана зарядами q₁, q₂, ... Q_n дорівнює векторній сумі напруженостей, що створюються кожним зарядом окремо:  . проекція вектора  - Результуючої напруженості поля на напрям нормалі до площадки dS дорівнює сумі алгебри проекцій всіх векторів  на цей напрямок: ,

звідси .

Потік вектора напруженості електростатичного поля в вакуумі крізь довільну замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, охоплених цією поверхнею, поділеної на електричну постійну e₀. Це формулювання є теорему К. Гаусса.

У загальному випадку електричні заряди можуть бути розподілені з деякою об'ємною щільністю  , Різної в різних місцях простору. Тоді сумарний заряд обсягу V, охопленого замкнутою поверхнею S дорівнює  і теорему Гаусса слід записати у вигляді .

Теорема Гаусса становить значний практичний інтерес: з її допомогою можна визначити напруженості полів, створюваних зарядженими тілами різної форми.

ЕЛЕКТРИКА І ПОСТІЙНИЙ ТОК | Електричні заряди. Закон збереження електричного заряду. | Закон Кулона. | Електростатичне поле і його напруженість. | Графічне зображення електростатичних полів | Принцип суперпозиції електростатичних полів. | Електростатичне поле електричного диполя. | Циркуляція вектора напруженості електростатичного поля. | Потенційна енергія і потенціал електростатичного поля. | Зв'язок між потенціалом і напруженістю електростатичного поля. Еквіпотенціальні поверхні. |