загрузка...
загрузка...
На головну

Повна енергія коливається точки

  1. III. Промениста енергія.
  2. S - повна довжина дуги арки;
  3. аксонометрія точки
  4. Аналіз норми з точки зору її дії в часі, в просторі і по колу осіб.
  5. антропометричні точки
  6. Антропометричні точки на голові
  7. Антропометричні точки на черепі

 Повна енергія не залежить від часу. Отже, при гармонійних коливаннях виконується закон збереження механічної енергії.

4. 3. Гармонійний осцилятор. Приклади гармонійних осциляторів. @

Тіла, які при русі здійснюють гармонійні коливання, називають гармонійними осцилятора. Розглянемо ряд прикладів гармонійних осциляторів.

Приклад 1. Пружинний маятник - це тіло масою m, здатне здійснювати коливання під дією сили пружності невагомою (mпружини<< mтіла) Пружини (рис.4.2).

 

 Тертям в системі нехтуємо. При зміщенні тіла на відстань х від положення рівноваги О на нього діє сила пружності пружини, спрямована до положення рівноваги:  , Де k - коефіцієнт пружності (Жорсткості) пружини. За другим законом Ньютона  . Звідси  і, якщо позначити  , Тоді отримаємо  диференціальне рівняння гармонійних коливань. Його рішення мають вигляд  або  . Таким чином, коливання пружинного маятника - гармонійні з циклічною частотою  і періодом .

Приклад 2. Фізичний маятник - це тверде тіло, що здійснює коливання під дією сили тяжіння навколо рухомий горизонтальній осі, яка не співпадає з його центром тяжіння С (рис. 4. 3). Вісь проходить через точку О. Якщо маятник відхилити від положення рівноваги на малий кут a і відпустити, він буде коливатися, слідуючи до основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла  , Де J - момент інерції маятника щодо осі, М - момент сили, що повертає фізичний маятник в положення рівноваги. Він створюється силою тяжіння  , Її момент дорівнює (l= ОС). В результаті отримуємо  . Це диференціальне рівняння коливань для довільних кутів відхилення. При малих кутах, коли ,  або, приймаючи  , Отримаємо диференціальне рівняння коливання фізичного маятника  . Його рішення мають вигляд  або  . Таким чином, при малих відхиленнях від положення рівноваги фізичний маятник здійснює гармонійні коливання з циклічною частотою  і періодом .

Приклад3. Математичний маятник - це матеріальна точка з масою m (важкий кульку малих розмірів), підвішена на невагомою (в порівнянні з m кульки), пружною, нерастяжимой нитки довжиною l. Якщо вивести кульку з положення рівноваги, відхиливши його від вертикалі на невеликий кут a, а потім відпустити, він буде коливатися. Якщо розглядати дану систему як фізичний маятник з моментом інерції матеріальної точки J = ml2, То з формул для фізичного маятника отримаємо вирази для циклічної частоти і періоду коливань математичного маятника

, .

4. 4. Затухающие коливання. @

У розглянутих прикладах гармонійних коливань єдиною силою, що діє на матеріальну точку (тіло), була квазіупругая сила F і не враховувалися сили опору, які присутні в будь-якій реальній системі. Тому розглянуті коливання можна назвати ідеальними незатухающими гармонійними коливаннями.

Наявність в реальному коливальній системі сили опору середовища призводить до зменшення енергії системи. Якщо спад енергії не поповнювати за рахунок роботи зовнішніх сил, коливання будуть затухати. Затухаючими називаються коливання з зменшується в часі амплітудою.

Розглянемо вільні затухаючі коливання. При невеликих швидкостях сила опору FC пропорційна швидкості v і обернено пропорційна їй у напрямку  , Де r - коефіцієнт опору середовища. Використовуючи другий закон Ньютона, отримаємо диференціальне рівняння затухаючих коливань , ,  . позначимо ,  . Тоді диференціальне рівняння набуває вигляду:

.

Це диференціальне рівняння затухаючих коливань. тут w0 - Власна частота коливань системи, тобто частота вільних коливань при r = 0, b - коефіцієнт загасання визначає швидкість убування амплітуди. Рішеннями цього рівняння за умови b 0 є

 або .

Графік останньої функції представлений на рис.4.4. Верхня пунктирна лінія дає графік функції  , А0 - Амплітуда в початковий момент часу. Амплітуда в часі убуває по експоненціальному закону, b - коефіцієнт загасання за величиною обратен часу релаксації t, Тобто часу за яке амплітуда зменшується в e раз, так як

,  , Bt = 1,  . Частота і період згасаючих коливань ,  ; при дуже малому опорі середовища (b2<< w02) Період коливань практично дорівнює  . З ростом b період коливань збільшується і при b> w0 рішення диференціального рівняння показує, що коливання не відбуваються, а відбувається монотонне рух системи до стану рівноваги. Такий рух називають апериодическим.

Для характеристики швидкості загасання коливань служать ще два параметри: декремент загасання D і логарифмічний декремент l. Декремент загасання показує у скільки разів зменшується амплітуда коливань за час одного періоду Т.

 Натуральний логарифм від декремента загасання є логарифмічний декремент l

 . Так як  , то  , Де N - число коливань за час .

4. 5. Вимушені коливання. Механічний резонанс. @

Якщо на коливну систему діє періодично змінюється сила, то коливання називаються змушеними. Нехай змушує сила змінюється за гармонійним законом
.

Диференціальне рівняння, що отримується з другого закону Ньютона, з урахуванням цієї сили слід записати у вигляді

 або  . Рішенням диференціального рівняння вимушених коливань є  , Причому w - частота вимушених коливань збігається з частотою коливання змушує сили, а амплітуда вимушених коливань - А є складною функцією від w і b.

.

Залежність амплітуди від w і b представлені на рис.4.5 (b1> b2> b3). При w = 0 всі криві сходяться в одній точці осі ординат  . При різних значеннях b амплітудні криві мають максимуми, які відповідають частотам w1, w2, ..., W0. Явище зростання, а потім убування амплітуди коливань при зміні частоти названо механічним резонансом, а частоти w1, w2, ..., W0, Яким відповідають максимуми амплітуди, називають резонансними частотами wрез. Щоб визначити їх значення, необхідно знайти максимум для функції амплітуди або, що те ж саме, мінімум подкоренного вираження (  ). Продифференцировав подкоренное вираз по w і прирівнявши нулю, отримаємо умову, що визначає wрез .

Це рівняння має три рішення: w = 0 і ±  . Фізичний сенс має лише позитивне значення. Отже, резонансна частота wрез=  , При b®0, wрез®w0. Якщо в формулу для амплітуди А підставити вираз wрез=  , Отримаємо резонансне значення Арез .

Інша особливість вимушених коливань - це зсув фази, а саме вимушені коливання відстають по фазі на j від допустимої сили на величину j, чекаючи якої .

Величина зсуву фаз залежить від частоти w і коефіцієнта загасання b. Вимушені коливання та змушує сила мають однакову фазу лише при b = 0, у всіх реальних випадках b?0 і j?0. При w = w0 для будь-яких значень b зрушення фази дорівнює  , Тобто змушує сила випереджає по фазі вимушені коливання на  . При w >> w0 j®p, тобто фази сили і коливань протилежні.

Явище механічного резонансу необхідно враховувати при конструюванні різного роду споруд: машин, кораблів, літаків, мостів та ін. Якщо, наприклад, власна частота w0 вібрацій корпусу корабля або крил літака збігається з частотою коливань, які утворюються обертальнимрухом гребного гвинта або пропелера виникне механічний резонанс, який може привести до руйнування. Однак явище резонансу має і позитивне застосування, наприклад, в радіотехніці - для виділення потрібного сигналу і безлічі інших, що відрізняються по частоті, в акустиці - для посилення звучання музичного інструменту і т.д.

Для вирішення багатьох технічних завдань великий інтерес представляють автоколебания. Це незгасаючі коливання в реальному коливальній системі, що здійснюються під впливом зовнішнього змінного впливу, частота якого дорівнює власній частоті системи. У автоколебательной системі існує джерело енергії, від якого періодично подається в систему енергія, яка компенсує її спад. Прикладом такої системи є годинник, де розкручує пружина або опускаються гирьки є джерелом енергії, а анкерное усройство підштовхує маятник годинника в такт до його коливаннями.

5. ХВИЛЬОВІ ПРОЦЕСИ @

5.1. Поняття про хвилі. Види хвиль. @

Якщо будь-яку частку пружного середовища змусити коливатися, то завдяки взаємодії між частинками, сусідні частинки теж почнуть коливатися, такий процес залучення частинок в коливальний рух буде охоплювати згодом все більше число частинок. Процес поширення коливань в середовищі називається хвильовим процесом або хвилею. У такому процесі самі частинки середовища не переміщаються на великі відстані, вони тільки роблять коливання близько положень рівноваги, причому частки в різних точках коливаються з деяким зрушенням по фазі.

Розрізняють поперечні і поздовжні хвилі. Хвиля називається поперечної, якщо коливання частинок середовища відбуваються в напрямку, перпендикулярному до напрямку поширення хвилі. Приклади поперечних хвиль: поширення коливань атомів у вузлах кристалічної решітки твердого тіла, коливання величин електричного і магнітного полів при поширенні електромагнітних хвиль, хвилі на поверхні води і т.д. Хвиля називається поздовжньої, якщо коливання частинок середовища відбуваються близько положень рівноваги вздовж напрямку поширення хвилі. Приклади поздовжніх хвиль: коливання в пружинних системах, поширення коливань атомів в газах і рідинах (поширення звукових хвиль), такі коливання також виникають і в твердих тілах.

Хвилі також ділять по виду хвильових поверхонь на плоскі, сферичні та ін. Хвильова поверхня - це геометричне місце точок у просторі, в яких коливання відбуваються однаковим чином або в одній фазі. Для плоских хвиль хвильові поверхні представляються паралельними площинами або лініями, для сферичних хвиль - сферами або колами із загальним центром (Рис.5.1). Хвильові поверхні листя. Поверхня, до яких підійшли коливання в якийсь момент часу і яка відділяє коливаються частки від ще не вагається частинок, називається фронтом хвилі.

Ріс.5.1.а) Плоска хвиля, б) Сферична хвиля.

5.2. Хвильове рівняння. Рівняння і характеристики хвиль.@

 Якщо хвиля поширюється вздовж деякого напрямку, то зміщення частинки від положення рівноваги S буде залежати від часу t і від місця розташування частинки х або r. Диференціальне рівняння для хвилі має вигляд  і називається хвильовим рівнянням, тут v - швидкість поширення хвилі. Рішення такого рівняння має вигляд:

для плоскої хвилі  , А для сферичної  . Графічно такі хвилі зображують синусоїдами, які зміщуються з часом (Рис.5.2), тому такі хвилі (на відміну від стоячих) називають біжать хвилями, хоча самі частинки речовини нікуди не біжать, а коливаються біля свого постійного положення рівноваги.

Новими характеристиками, в порівнянні з простими коливаннями, є фазова швидкість v, довжина хвилі, хвильове число. Фазової швидкістю або швидкістю поширення хвилі v називають швидкість переміщення фази або точок простору, де коливання знаходяться в одній фазі, наприклад точок амплітудного значення А. Ця швидкість дорівнює швидкості переміщення хвильового фронту або швидкості поширення хвильового процесу. Довжиною хвилі називають відстань, на яке поширюється хвильовий процес за час дорівнює періоду коливань Т (l = vT) або найкоротша відстань між частинками, які коливаються в одній фазі. Використовуючи ці характеристики, рівняння хвиль можна записати в такий спосіб:

для плоскої хвилі  , А для сферичної хвилі  , Де k - хвильове число, що показує, скільки довжин хвиль вкладеться на відстані в 2p метрів (k = 2p / l = w / v), а  - Хвильовий вектор, рівний за величиною хвильового числа і спрямований уздовж вектора фазової швидкості.

5. 3. Енергія хвилі. Перенесення енергії. @

Так як частинки середовища рухаються при коливаннях і взаємодіють між собою, то вони мають як кінетичної, так і потенційної енергією. У безперервному середовищі розглядають суму кінетичної та потенційної енергії (механічну енергію) dEм одиниці об'єму dV речовини або об'ємну щільність енергії середовища wм = d Ем/ DV. Розрахунок механічної енергії призводить до вираження  , Яке схоже з виразом для механічної енергії коливань осцилятора за винятком сомножителя  , Що залежить від часу. Це означає, що енергія в кожному обсязі простору змінюється з часом за рахунок її передачі від однієї частинки до іншої. Експерименти показують, що хвилі дійсно переносять енергію, це відноситься як до механічних хвилях в матеріальних середовищах, так і до електромагнітних хвиль у вакуумі. Процес перенесення енергії хвилею описується вектором Умова-Пойнтінга, який спрямований уздовж вектора фазової швидкості і чисельно дорівнює кількості переносної енергії за одиницю часу через одиничну площадку, розташовану перпендикулярно до напрямку поширення хвилі. Формула для його розрахунку має вигляд

.

З цього виразу видно, що вектор Умова-Пойнтінга теж змінюється з часом. Так як частоти реальних коливань дуже великі, то на практиці зазвичай вимірюються усереднені значення, для вектора Умова-Пойнтінга середнє значення за часом від його модуля називають інтенсивністю хвильового процесу. Інтенсивність хвилі I - це скалярна величина, що показує кількість яку переносять хвилею енергії в середньому за одиницю часу через одиничну площадку, перпендикулярну до напрямку руху хвилі. Якщо провести усереднення за часом одного повного коливання, то отримаємо  . Звідси видно, що інтенсивність пропорційна амплітуді коливань. У випадку плоскої хвилі амплітуда і інтенсивність не змінюються в міру поширення хвилі, але для сферичної хвилі А »1 / r і інтенсивність зменшується з відстанню I» 1 / r2.

5. 4. Принцип суперпозиції хвиль. Явище інтерференції.@

Якщо в середовищі поширюється одночасно кілька хвиль, то результуючі коливання частинок середовища залежать від впливу окремих хвиль. У лінійних середовищах виконується принцип суперпозиції хвиль, згідно з яким всі параметри результуючого коливання (зміщення, швидкість, прискорення) дорівнюють сумі відповідних параметрів окремих хвиль. Лінійними є всі пружні середовища, в яких зміщення частинок від положення рівноваги підкоряються закону Гука (зсув пропорційний силі, що діє на частинку). Порушення принципу суперпозиції може відбуватися при поширенні хвиль великої інтенсивності. Наприклад, при проходженні в середовищі лазерних променів, такої шаленої потужності, що вони можуть змінити пружні властивості речовини, для результуючих коливань цей принцип не дотримується. Такі середовища називають нелінійними.

У лінійних середовищах, внаслідок виконання принципу суперпозиції, спостерігається явище інтерференції світла. Явище інтерференції - це явище, яке зменшення амплітуди результуючих коливань при накладенні двох або більше когерентних хвиль, які коливаються в одній площині. Когерентними називають хвилі, різниця фаз яких не змінюється з часом. Для пояснення цього явища розглянемо випадок накладення в точці М1 або М2 двох коливань однієї частоти, що йдуть від джерел S1 і S2 (Рис.5.3).

Рис.5.3. Додавання коливань при інтерференції (в точці М1 - Посилення, в точці М2 - Ослаблення коливань).

Рівняння хвиль в точці М матимуть вигляд и  . Сумарне коливання в точці М, використовуючи формулу для синуса різниці, можна представити у вигляді

Останній вираз можна розглядати як  , де

 . З цих рівнянь можна визначити А і j. Розділивши друге рівняння на перше знаходимо  , А звівши ці рівняння в квадрат і склавши їх, можна знайти що  , Де різниця фаз  . Якщо врахувати, що інтенсивність пропорційна квадрату амплітуди коливань, то після усереднення останнього рівняння одержимо .

У разі складання втрачає когерентних хвиль різниця фаз змінюється з часом довільним чином і середнє значення косинуса дорівнюватиме нулю і  , Тобто відбувається зазвичай спостерігається додавання інтенсивностей коливань. Але якщо коливання когерентні, то різниця фаз не змінюватиметься з часом і середнє значення косинуса не дорівнюватиме нулю  . У цьому випадку в різних точках простору будуть різні значення сумарної амплітуди коливань і інтенсивності. У точках, для яких  і тут буде максимальне посилення коливань, в цих точках різниця фаз повинна дорівнювати  - Це умова для максимуму інтерференції. У точках, для яких  і тут буде максимальне ослаблення коливань, в цих точках різниця фаз повинна дорівнювати  - Це умова для мінімуму інтерференції. У точках, де не задовольняються ці умови, будуть проміжні значення амплітуди і інтенсивності коливань.

6. ЕЛЕМЕНТИ РЕЛЯТИВІСТСЬКОЇ МЕХАНІКИ. @

6.1. Перетворення Галілея і механічний принцип відносності. @

У механіці Ньютона при переході від однієї системи відліку до іншої, що рухається відносно першої поступально з постійною швидкістю, користуються перетвореннями координат і часу, які називаються перетвореннями Галілея. Вони засновані на двох аксіомах:



Попередня   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   Наступна

Кінематика поступального і обертального руху | Загальна теорія відносності | Кінематика вивчає рух тіл, не розглядаючи причини, що викликають цей рух. | Вектор прискорення в даний момент часу визначається як перша похідна від вектора швидкості за часом або друга похідна від радіуса-вектора за часом. | Обертальним називається такий рух, при якому всі точки тіла рухаються по колах, центри яких лежать на одній і тій же прямій, званої віссю обертання. | Прискорення, що купується тілом з постійної масою під дією сили, прямо пропорційно цій силі, збігається з нею за напрямком і обернено пропорційно масі тіла. | Результуюча сила дорівнює векторній сумі сил, що діють на тіло. У цьому полягає принцип суперпозиції або принцип незалежності дії сил. | З'єднує ці точки | Цей вислів є законом збереження імпульсу. Сумарний імпульс замкнутої системи точок (тіл) не змінюється з плином часу. | Де: А - що здійснюється робота, Е1 і Е2 - енергії системи в початковому і кінцевому станах. |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати