загрузка...
загрузка...
На головну

Спосіб завдання руху.

  1. DIV, SPAN - Використовуються для виділення частини документа певним способом. Обов'язковий закриває тег!
  2. I. Аналіз завдання
  3. II. ЗАВДАННЯ ДЛЯ ТИПОВИХ РОЗРАХУНКІВ
  4. II. Рішення логічних задач табличним способом
  5. II.6.2.) Організація і правоздатність корпорацій.
  6. III. Виконання завдання
  7. III. Метод визначення платоспроможності фізичних осіб, розроблена Ощадбанком Росії.

Задати рух точки по відношенню до обраної системі відліку - це означає вказати спосіб, за допомогою якого можна визначити положення точки в будь-який момент часу.

Існують три способи завдання руху:

1. Векторний спосіб.

 Положення точки в просторі однозначно певному завданням радіуса - вектора  , Проведеного з деякого нерухомого центру О в дану точку М.

Для визначення руху точки потрібно знати, як змінюється з плином часу  , Тобто повинна бути відома функція

Мал. 2.1

 . (1)

Годографом будь-якого вектора називають криву, яку викреслює кінець цього вектора при зміні його аргументу (передбачається, що початок вектора, знаходиться в одній і тій же точці).

Таким чином, годографом радіус - вектора є траєкторія точки.

2. Координатний спосіб.

 Положення точки М в системі координат ОХУ визначається координатами х, y, z.

При русі точки М її координати змінюються з плином часу. Отже, координати х, y, z рухається точки, є функціями часу

Мал. 2.2

 (2)

Ці рівняння називаються рівняннями руху точки в декартових координатах.

Нехай рух точки М в площині задано рівняннями:

З першого рівняння висловимо час  і підставимо в друге:  - Отримана залежність є рівняння траєкторії точки.

3. Природний спосіб завдання руху.

Цей спосіб застосовується в тому випадку, якщо траєкторія точки заздалегідь відома.

Виберемо на траєкторії нерухому точку О, яку назвемо початком відліку дугового координати.  Положення точки М на траєкторії будемо визначати дугового координатою S, відкладеної на траєкторії від початку відліку О. Відстані, відкладені в одну сторону від точки О, будемо вважати позитивними, в іншу - негативними, тобто встановимо

Мал. 2.3 напрямок відліку дугового координати. при русі

точки М відстань S від цієї точки до нерухомої

точки Про змінюється з плином часу:

 - Рівняння руху т. М (3)

2.2. швидкість точки.

1. Векторний спосіб завдання руху.

Нехай в момент часу  становище точки М визначається  , А в момент .

Мал. 2.4

вектор  будемо називати вектором переміщення точки за час  . ставлення к  , Називається середньою швидкістю за проміжок часу

 (4)

Швидкістю точки в даний момент часу називається границя відношення вектора переміщення точки до проміжку часу, за яке сталося це переміщення, при прагненні цього проміжку часу до нуля

 (5)

Швидкість точки - це вектор, спрямований по дотичній до траєкторії в сторону руху.

2. Координатний спосіб завдання руху.

Нехай рух точки задано

Тоді для радіуса - вектора точки М можна записати

 , (*)

де  - Одиниці орт осей х, y, z.

Згідно (5) .

Диференціюючи (*)

 . (**)

З іншого боку для вектора  справедливо співвідношення

 , (***)

де  - проекції  на осі х, y, z.

Порівнюючи (**) і (***), отримаємо

 (6)

Модуль швидкості точки

 (7)

Напрямок швидкості визначається напрямними косинусами:

3. Природний спосіб завдання руху.

Нехай в момент часу t положення точки М визначається координатою S, в момент -

Згідно (5)

 (*)

Обчислимо модуль і визначимо напрямок :

вектор  направлений так само, як .

Мал. 2.5

при  напрямку цього вектора прагне до напрямку дотичної до траєкторії в точці М.

Позначимо одиничний орт дотичної через

,

Таким чином  , отже  , так як .

Рівність (*) набуде вигляду:

 (8)

модуль  , напрямок  Зівпадає з .

2.3. Прискорення точки.

1. При векторному способі завдання руху.

Припустимо, що в момент часу  швидкість точки  , А в момент .

Межа збільшення швидкості до збільшенню часу за яке відбулося це збільшення, за умови, що  , Називається прискоренням точки в даний момент часу.

 (9)

2. При координатному способі завдання руху.

Вектор швидкості точки

.

З урахуванням (9)

 (*)

Але для вектора прискорення точки маємо

 (**)

Порівнюючи (*) і (**), отримаємо

 (10)

Модуль прискорення точки

 . (11)

Напрямок вектора прискорення визначається напрямними косинусами:

3. За природного способу завдання руху.

Нехай відома траєкторія точки.

Візьмемо дві близькі на траєкторії точки М і М1 - .

вектор  перенесемо в точку М і проведемо площину через  . Ця площина, називається дотичною площиною.

Площина перпендикулярна дотичної, називається нормальної площиною. Площина перпендикулярна нормальної і дотичної площинах називається спрямляются площиною.

рис.2.6

Три взаємно перпендикулярні площині:

нормальна, дотичний і спрямляются утворюють природний тригранник.

Лінія перетину нормальної і дотичної площин називається головною нормаллю. Орт головної нормалі -  . Лінія перетину нормальної і спрямляются площин називається бінормаль траєкторії. ось бинормали .

Три взаємно перпендикулярні осі: дотична, спрямована в бік зростання дугового координати; головна нормаль, спрямована в бік угнутості траєкторії; бінормаль, спрямована по відношенню до  також, як вісь z по відношенню до осей х, y, називаються природними осями.

Кут між дотичними в двох найближчих точках траєкторії називається кутом суміжності .

Кривизною кривої в точці М називається межа відносини кута суміжності до абсолютним значенням довжини дуги ММ, між найближчими точками траєкторії

 (12)

Радіусом кривизни в точці М називається величина, зворотна кривизні:

 . (13)

Отримаємо формулу для обчислення прискорення точки М. Згідно зі слів (8) маємо:

.

Продифференцируем за часом обидві частини цієї рівності

 (*)

обчислимо .

Так як напрямок по головній нормалі, то .

Підставами в (*)

,

Прискорення точки лежить в дотичній площині і визначається як векторна сума дотичного і нормального прискорень точки:

 . (14)

Проекція прискорення на дотичну визначається формулою:

 . (15)

Дотичне прискорення характеризує зміну швидкості за величиною. Воно дорівнює нулю, коли величина швидкості залишається незмінною. Крім того, воно звертається в нуль в ті моменти часу, коли швидкість досягає екстремальних значень.

Величина нормального прискорення визначається формулою:

 , (16)

де  - Радіус кривизни.

Нормальне прискорення характеризує зміну швидкості за напрямком. Воно дорівнює нулю при прямолінійній русі точки, а також в точках перегину траєкторії, так як в обох випадках радіус кривизни звертається в нескінченність. Крім того,  в точках де V = 0.

 Модуль прискорення обчислюється за формулою:

 . (16)

Мал. 2.7

Напрямок прискорення:

Деякі окремі випадки руху точки.

1. Прямолінійний рух

.

Так як при прямолінійному русі швидкість змінюється тільки чисельно, то робимо висновок, що дотичне прискорення характеризує зміну швидкості за чисельної величиною.

2. Рівномірний криволінійний рух

Рівномірним називається такий рух, в якому чисельна величина швидкості залишається весь час постійної (  ):

Так як прискорення при рівномірному русі з'являється в результаті зміни напрямку швидкості, то нормальне прискорення характеризує зміну швидкості за напрямком. Отримаємо закон руху.

Звідси: .

проинтегрируем:

Підставами межі інтегрування:

В результаті отримаємо закон рівномірного криволінійного руху:

3. Рівномірний прямолінійний рух

отже,

4. равнопеременное криволінійний рух

Равнопеременное називається таке криволінійний рух, при якому дотичне прискорення залишається величиною постійною:

 , проинтегрируем

але  проинтегрируем

 - Закон равнопеременное криволінійного руху.



Попередня   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   Наступна

В. В. ГАРАНІКОВ | Вступ | Аксіоми статики. | Система сходяться сил | Довільна плоска система сил | Системи сходяться сил. | Довільна просторова система сил. | ЦЕНТР ВАГИ. | Обертальний рух твердого тіла. | Рівняння равнопеременное обертання тіла |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати