Головна

Довільна просторова система сил

  1. I.2.3) Система римського права.
  2. II.5.1) Поняття і система магістратур.
  3. IV. МОВА ЯК СИСТЕМА І СТРУКТУРА
  4. " виштовхує "ЛОГІСТИЧНА СИСТЕМА
  5. S.1. ІНФОРМАЦІЙНА СИСТЕМА ТОРГІВЛІ
  6. VI. Система органів державної влади в Російській Федерації
  7. А. Секційна система з багатошаровими довгими блоками

3.2.1. Момент сили відносно точки. Момент сили відносно осі. Теорія пар в просторі.

У випадку плоскої системи сил момент сили відносно точки визначений як алгебраїчна величина:  . При просторовому розташуванні сил цього визначення недостатньо, так як площини, що проходять через лінії дії сил і точку, щодо якої визначається момент, різні. Тому момент  сили P щодо точки О в просторі визначають як векторний добуток  , де  - Вектор радіус проведений з точки О в точку прикладання сили.

 Таким чином вектор  направлений перпендикулярно площині, що містить лінію дії сили і точку О, так що сила  з кінця його вектора  видно напрямок проти годинникової стрілки.

Мал. 1.40

модуль вектора  дорівнює:

Моментом сили відносно осі називається скалярна величина, що дорівнює моменту проекції цієї сили на площину, перпендикулярну осі, взятому щодо точки перетину осі з площиною.

Мал. 1.41

якщо сила  з кінця осі z видно напрямок навколо точки О проти годинникової стрілки то момент позитивний.

Отже, момент сили відносно точки - вектор, а момент сили відносно осі - скалярна величина.

При обчисленні моментів щодо осі треба мати такі окремі випадки:

1. Якщо сила паралельна осі, то її момент відносно осі дорівнює нулю .

2. Якщо лінія дії сили перетинає вісь, то її момент відносно осі дорівнює нулю .

3. Якщо сила перпендикулярна осі, то її момент відносно осі дорівнює добутку модуля сили на відстань між силою і віссю.

Отримаємо аналітичний вираз для моментів сили щодо осей координат.

Мал. 1.42

Спроектуємо силу  на площину  і розкладемо отриману проекцію на складові и  ; чисельно ці складові будуть, очевидно, рівні проекція сили  на осі . тоді

Остання рівність випливає з теореми Варіньона. Але як видно з креслення,  отже  . Аналогічно обчислюються моменти щодо інших осей.

В результаті отримаємо:

3.2.2. Залежність між моментом сили відносно центру і відносно осі.

Мал. 1.43

Нехай на тіло діє прикладена в точці  сила  . проведемо вісь  і візьмемо на ній довільну точку  . момент сили  щодо центру буде зображуватися вектором  , Перпендикулярним площині , причому по модулю

.

Проведемо тепер через будь-яку точку  площину  , Перпендикулярну осі  ; проектуючи силу  на цю площину, знайдемо:

але трикутник  є проекцією трикутника  на площину  . Кут між площинами трикутників дорівнює .

тоді .

Помножимо обидві частини рівняння на 2, знаходимо

Так як твір  дає проекцію  або .

момент сили  щодо осі дорівнює проекції на цю вісь вектора, який зображує момент цієї сили відносно центру, лежачого на цій осі. Або проекція вектора моменту сили відносно центру на вісь, що проходить через центр, дорівнює моменту сили відносно цієї осі.

3.3.3. Головні вектори сил і моментів.

Головним вектором системи сил називається геометрична сума сил системи.

Розглянемо систему сил, як завгодно орієнтованих в просторі. Обчислимо моменти цих сил щодо точки .

вектори  всі докладені в точці  . Побудуємо багатокутник векторів моментів. Замикає сторона цього багатокутника - головний момент відносно нерухомого центру

Мал. 1.44

Таким чином, головним моментом просторової системи сил відносно центра називається геометрична сума моментів сил системи відносно того ж центру.

Головним моментом просторової системи сил відносно нерухомої осі називається алгебраїчна сума моментів сил системи тієї ж осі.

3.2.4. Приведення просторової системи сил до заданого центру.

Приведення сили до заданого центру (метод Пуансо).

Мал. 1.45

Наведемо силу до центру  . У точці  докладемо систему сил  , причому

сили  утворюють пару, момент якої .

При приведенні сил до заданого центру отримуємо в цьому центрі силу, геометрично дорівнює заданої, і пару, момент якої дорівнює моменту сили відносно центру приведення.

теорема

При приведенні просторової системи сил до центру завжди отримаємо силу, яка називається головним вектором сил, прикладену в центрі приведення і пару сил, момент якої дорівнює головному моменту системи сил відносно центра приведення.

 Доведення:

Нехай маємо систему сил, як завгодно орієнтованих в просторі (обмежимося трьома силами). Кожну силу приводимо до центру  на підставі методу Пуансо. У точці  отримаємо систему сходяться сил  . Геометрична сума цих сил - є головний вектор: .

вектори моментів

Мал. 1.46 так само утворюють систему, що сходяться

векторів. Їх геометрична сума - є

головний момент системи сил

щодо центру .

3.2.5. Обчислення головного вектора і головного моменту просторової системи сил.

Головний вектор:

.

Спроектуємо обидві частини цього векторного співвідношення на осі .

тоді модуль  дорівнює:

напрямок  визначається напрямом косинусів:

Мал. 1.47

головний момент

Спроектуємо дане векторне співвідношення на осі :

Модуль головного момент дорівнює

Напрямок визначаємо напрямком косинусів:

3.2.6. Умови і рівняння рівноваги просторової системи сил.

теорема

Для рівноваги просторової системи сил необхідно і достатньо, щоб головний вектор і головний момент дорівнювали нулю.

Доведення:

Достатність.

при  , Система сходяться сил, прикладених в центрі приведення еквівалентна нулю, а при  - Система пар сил еквівалентна нулю. Отже, вихідна система сил еквівалентна нулю.

Необхідність. Нехай дана система сил еквівалентна нулю. Тоді необхідно, щоб .

Якщо будь-яка з цих умов не виконується, то система сил приводиться або  , Або до пари, момент якої  і отже, не є врівноваженою, що суперечить вихідної передумові.

Рівняння рівноваги:

У разі довільної просторової системи сил завдання є статично визначеною, якщо число алгебраїчних невідомих не більше шести.



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

В. В. ГАРАНІКОВ | Вступ | Аксіоми статики. | Система сходяться сил | Довільна плоска система сил | КІНЕМАТИКА. | Спосіб завдання руху. | Поступальний рух тіла. | Обертальний рух твердого тіла. | Рівняння равнопеременное обертання тіла |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати