Головна

Аксіома Больцано-Вейєрштрасса і теорема про стягують системі відрізків

  1. I. 2. 2. Сучасна психологія і її місце в системі наук
  2. III. Східний питання у Віденській системі міжнародних відносин.
  3. Аварія в системі електропостачання поїзда.
  4. Адвокатське право як наука і її місце в системі інших правових наук
  5. Адміністративне право в правовій системі Російської Федерації
  6. Адміністративне право в системі російського права

У теорії меж дуже важливо одна властивість дійсних чисел, яке зазвичай приймають за аксіому.

Аксіома Больцано-Вейєрштрасса:
 всяка монотонна обмежена послідовність має межу.

Дана аксіома забезпечує тільки існування межі і нічого не говорить про його величиною. Однак іноді досить знати це, щоб його знайти.

Розглянемо приклад:

Приклад 34.дана послідовність  . Доведемо, що вона сходиться і знайдемо її межа.

Для цієї послідовності справедливо рівність  . (*)

Для доказу існування межі застосуємо аксіому Больцано-Вейєрштрасса. За індукції можна довести, що  . Тому послідовність  монотонна і обмежена.

якщо послідовність  має межу  , То ліва частина рівності (*) прагне до  , А права - до  . отримуємо ,  або  . очевидно,  не є межею послідовності  . значить, .

Аналогічно можна довести, що  , якщо .

>Теорема 5.Нехай дано дві послідовності и  такі, що:

1) послідовність  монотонно не убуває: ;

2) послідовність  монотонно не збільшується ;

3) для будь-якого  виконується нерівність ;

4) різниця  прямує до нуля при , .

Тоді існує число  , Що є загальним межею цих послідовностей:  , Причому, для всіх  виконується нерівність .

Доведення:розглянемо послідовність  , Вона не убуває і обмежена зверху:  , Значить у неї є межа (аксіома Больцано - Вейерштрасса), позначимо його .

Аналогічно, для  : Вона не зростає і обмежена знизу:  , Значить, в силу аксіоми Больцано - Вейерштрасса, послідовність  має межу, позначимо його .

Розглянемо умова 4):  ; оскільки існує межа кожного доданка, можна застосувати теорему про межу суми (різниці):  , Значить,  і послідовності мають загальний межа .

Приклад 35.послідовності и  визначаються рекурентними співвідношеннями ,  , причому ;  де  . Доведіть, що вони мають загальний межа.

Доведення:з умов випливає, що  ; доведемо, що  , Використовуючи метод математичної індукції. нехай для  , де  , тоді  ; значить, ;  ; значить, ;  ; значить, ;  ; значить,  ; звідси випливає не тільки той факт, що  , А й зростання послідовності  , Спадання послідовності .

Розглянемо  , тому и .

В силу >Теорема 5 послідовності и  мають загальний межа.

>Теорема 5 має наступний геометричний сенс. Розглянемо відрізки  . З умов слід, що відрізок  є частиною відрізка  (так як и  ), Крім того, довжини відрізків  прямують до нуля, коли  . нерівність  означає, що точка належить всім відрізкам .

Таким чином, геометрична формулювання >Теорема 5 така:

>Теорема 6.Нехай послідовність відрізків ;  ; ...  ; ... Така, що:

1) кожний наступний відрізок є частиною попереднього: ;

2) довжини відрізків прагнуть до нуля при , .

Тоді існує єдина точка  , Що належить усім цим відрізкам, причому .

Кажуть, що система відрізків  стягується в точку  , Тому >Теорема 6 називають теоремою про стягують системі відрізків. Ця теорема грає істотну роль в теорії дійсних чисел.



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Основні визначення | Способи завдання послідовностей | Монотонність числових послідовностей | Обмеженість числових послідовностей | Основні визначення | складні відсотки | Визначення і приклади нескінченно малих послідовностей | Властивості нескінченно малих послідовностей | Застосування нескінченно малих послідовностей до доказу теорем про межі | Визначення та приклади |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати