загрузка...
загрузка...
На головну

Нарахування відсотків. Розрахунок нарощеної вартості

  1. I. Вибір електродвигуна і кінематичний розрахунок
  2. I. Вибір електродвигуна і кінематичний розрахунок
  3. I. Розрахунок накопичувальної частини трудової пенсії.
  4. I. Розрахунок розміру плати за комунальну послугу, надану споживачеві за розрахунковий період в i-м житловому приміщенні (житловий будинок, квартира) або нежитловому приміщенні
  5. I. Розрахунок розміру плати за комунальну послугу, надану споживачеві за розрахунковий період в i-м житловому приміщенні (житловий будинок, квартира) або нежитловому приміщенні
  6. I. Розрахунок розміру страхової частини трудової пенсії.
  7. II. ЗАВДАННЯ ДЛЯ ТИПОВИХ РОЗРАХУНКІВ

В умовах ринкової економіки будь-яка взаємодія осіб, фірм і підприємств з метою отримання прибутку називається угодою. При кредитних угодах прибуток являє собою величину доходу від надання грошових коштів в борг, що на практиці реалізується за рахунок нарахування відсотків (процентної ставки - i). Відсотки залежать від величини наданої суми, терміну позики, умов нарахування та т. Д.

Найважливіше місце в фінансових оборудках займає фактор часу (t). З тимчасовим фактором пов'язаний принцип нерівноцінності і нееквівалентності вкладень. Для того щоб визначити зміни, що відбуваються з вихідної сумою грошових коштів (P), необхідно розрахувати величину доходу від надання грошей у позику, вкладення їх у вигляді вкладу (депозиту), інвестуванням їх у цінні папери і т. Д.

Процес збільшення суми грошей в зв'язку з нарахуванням відсотків (i) називають нарощенням, або зростанням початкової суми (P). Таким чином, зміна первісної вартості під впливом двох факторів: процентної ставки і часу називається нарощеної вартістю (S).

Нарощена вартість може визначатися за схемою простих та складних відсотків. Прості відсотки використовуються в разі, коли нарощена сума визначається по відношенню до незмінною базі, тобто нараховані відсотки погашаються (виплачуються) відразу після нарахування (таким чином, початкова сума не змінюється); в разі, коли вихідна сума (первісна) змінюється в часовому інтервалі, мають справу зі складними відсотками.

При нарахуванні простих відсотків нарощена сума визначається за формулою


S = P (1 + i t), (1)

де S - нарощена сума (вартість), руб .; P - початкова сума (вартість), руб .; i - процентна ставка, виражена в коефіцієнті; t - період нарахування відсотків.

приклад 1

Розрахувати суму нарахованих відсотків і суму погашення кредиту, якщо видана позика в розмірі 10 000 руб., На термін 1 рік при нарахуванні простих відсотків за ставкою 13% річних.

Рішення

S = 10 000 (1 + 0,13 · 1) = 11 300, руб. (Сума погашення кредиту);

? Р = 11 300 - 10 000 = 1 300, руб. (Сума нарахованих відсотків).

приклад 2

Визначити суму погашення боргу за умови щорічної виплати відсотків, якщо банком видана позика в сумі 50 000 руб. на 2 роки, при ставці - 16% річних.

Рішення

S = 50 000 (1 + 0,16 · 2) = 66 000, руб.

Таким чином, нарахування простих відсотків здійснюється в разі, коли нараховані відсотки не накопичуються на суму основного боргу, а періодично виплачуються, наприклад, раз на рік, півріччя, в квартал, на місяць і т. Д., Що визначається умовами кредитного договору. Також на практиці зустрічаються випадки, коли розрахунки проводяться за більш короткі періоди, зокрема на одноденної основі.

У разі, коли термін позики (вкладу і т. Д.) Менше одного року, в розрахунках необхідно скорегувати задану процентну ставку в залежності від тимчасового інтервалу. Наприклад, можна уявити період нарахування відсотків (t) у вигляді відношення  , Де q - число днів (місяців, кварталів, півріч і т. Д.) Позики; k - число днів (місяців, кварталів, півріч і т. д.) на рік.

Таким чином, формула (1) змінюється і має такий вигляд:

S = P (1 + i  ). (2)

приклад 3

Банк приймає вклади на строковий депозит на термін 3 місяці під 11% річних. Розрахувати дохід клієнта при вкладенні 100 000 руб. на вказаний термін.

Рішення

S = 100 000 (1 + 0,11 ·  ) = 102 749,9, руб .;

? Р = 102 749,9 - 100 000 = 2 749,9, руб.

Залежно від кількості днів в році можливі різні варіанти розрахунків. У разі, коли за базу вимірювання часу беруть рік, умовно складається з 360 днів (12 місяців по 30 днів), обчислюють звичайні, або комерційні відсотки. Коли за базу беруть дійсне число днів в році (365 або 366 - у високосному році), говорять про точні відсотках.

При визначенні кількості днів користування позикою також застосовується два підходи: точний і звичайний. У першому випадку підраховується фактичне число днів між двома датами, у другому - місяць приймається рівним 30 дням. Як в першому, так і в другому випадку, день видачі та день погашення вважаються за один день. Також існують випадки, коли в обчисленні застосовується кількість розрахункових або робочих банківських днів, число яких в місяць становить 24 дня.

Таким чином, виділяють чотири варіанти розрахунку:

1) звичайні відсотки з точним числом днів позички;

2) звичайні відсотки з наближеним числом днів позики;

3) точні відсотки з наближеним числом днів позики;

4) точні відсотки з банківських числом робочих днів.

При цьому необхідно врахувати, що на практиці день видачі і день погашення позики (депозиту) приймають за один день.

приклад 4

Позика видана в розмірі 20 000 руб. на термін з 10.01.06 до 15.06.06 під 14% річних. Визначити суму погашення позики.

Рішення

1. Звичайні відсотки з точним числом днів позички:

156 = 21 + 28 + 31 + 30 + 31 + 15;

S = 20 000 (1 + 0,14 ·  ) = 21 213,3, руб.

2. Звичайні відсотки з наближеним числом днів позики:

155 = (30 · 5) +5

S = 20 000 (1 + 0,14 ·  ) = 21 205,6, руб.

3. Точні відсотки з наближеним числом днів позики:

S = 20 000 (1 + 0,14 ·  ) = 21 189,0, руб.

4. Точні відсотки з банківських числом робочих днів:

S = 20 000 (1 + 0,14 ·  ) = 21 516,7, руб.

Дані для розрахунку кількості днів в періоді представлені в дод. 1, 2.

Як сказано вище, крім нарахування простих відсотків застосовується складне нарахування, при якому відсотки нараховуються кілька разів за період і не виплачуються, а накопичуються на суму основного боргу. Цей механізм особливо ефективний при середньострокових і довгострокових кредитах.

Після першого року (періоду) нарощена сума визначається за формулою (1), де i буде річною ставкою складних відсотків. Після двох років (періодів) нарощена сума S2 складе:

S2 = S1(1 + it) = P (1 + it) · (1 + it) = P (1 + it)2.

Таким чином, при нарахуванні складних відсотків (після n років (періодів) нарощення) нарощена сума визначається за формулою

S = P (1 + i t)n , (3)

де i - ставка складних відсотків, виражена в коефіцієнті; n - число нарахувань складних відсотків за весь період.

Коефіцієнт нарощення в даному випадку розраховується за формулою


Кн = (1 + i t)n , (4)

де Кн - коефіцієнт нарощення первісної вартості, од.

приклад 5

Вкладник має можливість помістити кошти в розмірі 75 000 руб. на депозит в комерційний банк на 3 роки під 10% річних.

Визначити суму нарахованих відсотків до кінця терміну вкладу, при нарахуванні складних відсотків.

Рішення

S = 75 000 (1+ 0,1 · 1)3 = 99 825, руб.

? Р = 24 825, руб.

Таким чином, коефіцієнт нарощення складе:

Кн = (1+ 0,1 · 1)3 = 1,331

Отже, коефіцієнт нарощення показує, у скільки разів збільшилася початкова сума при заданих умовах.

Частка розрахунків з використанням складних відсотків у фінансовій практиці досить велика. Розрахунки за правилом складних відсотків часто називають нарахування відсотків на відсотки, а процедуру приєднання нарахованих відсотків - їх реинвестированием або капіталізацією.


Мал. 1. Динаміка збільшення грошових коштів при нарахуванні простих і складних відсотків

Через постійне зростання бази внаслідок реінвестування відсотків зростання початкової суми грошей здійснюється з прискоренням, що наочно представлено на рис. 1.

У фінансовій практиці зазвичай відсотки нараховуються кілька разів на рік. Якщо відсотки нараховуються і приєднуються частіше (m раз на рік), то має місце m-кратне нарахування відсотків. У такій ситуації в умовах фінансової угоди не обмовляють ставку за період, тому в фінансових договорах фіксується річна ставка відсотків i, на основі якої обчислюють процентну ставку за період (  ). При цьому річну ставку називають номінальною, вона служить основою для визначення тієї ставки, по якій нараховуються відсотки в кожному періоді, а фактично застосовується в цьому випадку ставку (( )mn) - Ефективної, яка характеризує повний ефект (дохід) операції з урахуванням внутрішньорічної капіталізації.

Нарощена сума за схемою ефективних складних відсотків визначається за формулою

S = P (1 + )mn , (5)

де i - річна номінальна ставка,%; (1+ )mn - Коефіцієнт нарощення ефективної ставки; m - число випадків нарахування відсотків за рік; mn - число випадків нарахування відсотків за період.

приклад 6

Розрахувати суму виплати за депозитом в розмірі 20 000 руб., Вміщеної на 1 рік під 14% річних з щоквартальним нарахуванням відсотків.

Рішення

S = 20 000 (1+ )4 · 1 = 22 950, руб.

Слід зазначити, що при періоді, рівним 1 року, число випадків нарахування відсотків за рік буде відповідати числу випадків нарахування відсотків за весь період. Якщо, період становить понад 1 року, тоді n (див. Формулу (3)) - слід пов'язати з цим значенням.

приклад 7

Розрахувати суму погасительной платежу, якщо виданий кредит в розмірі 20 000 руб. на 3 роки під 14% річних з щоквартальним нарахуванням відсотків.

Рішення

S = 20 000 (1+ )4 · 3 = 31 279, 1, руб.

Нарахування складних відсотків також застосовується не тільки у випадках обчислення зрослої на відсотки суми заборгованості, але і при неодноразовому обліку цінних паперів, визначенні орендної плати при лізинговому обслуговуванні, визначенні зміни вартості грошей під впливом інфляції і т. Д.

Як говорилося вище, ставку, яка вимірює відносний дохід, отриманий в цілому за період, називають ефективною. Обчислення ефективної процентної ставки застосовується для визначення реальної прибутковості фінансових операцій. Ця прибутковість визначається відповідною ефективною процентною ставкою.

Ефективну процентну ставку можна розрахувати за формулою

Iеф = (1+ )mn - 1. (6)

приклад 8

Кредитна організація нараховує відсотки на строковий вклад, виходячи з номінальної ставки 10% річних. Визначити ефективну ставку при щоденному нарахуванні складних відсотків.

Рішення

i = (1+ )365 - 1 = 0,115156, т. Е. 11%.

Реальний дохід вкладника на 1 руб. вкладених коштів складе не 10 коп. (З умови), а 11 коп. Таким чином, ефективна процентна ставка по депозиту вище номінальної.

приклад 9

Банк в кінці року виплачує по вкладах 10% річних. Яка реальна прибутковість вкладів при нарахуванні відсотків: а) щоквартально; б) по півріччях.

Рішення

а) i = (1+ )4 - 1 = 0,1038, т. Е. 10,38%;

б) i = (1+ )2 - 1 = 0,1025, т. Е. 10,25%.

Розрахунок показує, що різниця між ставками незначна, однак нарахування 10% річних щоквартально вигідніше для вкладника.

Розрахунок ефективної процентної ставки в фінансовій практиці дозволяє суб'єктам фінансових відносин орієнтуватися в пропозиціях різних банків і вибрати найбільш прийнятний варіант вкладення коштів.

У кредитних угодах іноді передбачається зміна в часі процентної ставки. Це викликано зміною контрактних умов, наданням пільг, пред'явленням штрафних санкцій, а також зміною загальних умов здійснюваних операцій, зокрема, зміна процентної ставки в часі (як правило, у бік збільшення) пов'язане із запобіганням банківських ризиків, можливих в результаті зміни економічної ситуації в країні, зростання цін, знецінення національної валюти і т. д.

Розрахунок нарощеної суми при зміні процентної ставки в часі може здійснюватися як нарахуванням простих відсотків, так і складних. Схема нарахування відсотків вказується в фінансовому угоді і залежить від терміну, суми і умов операції.

Нехай процентна ставка змінюється по роках. перші n1 років вона буде дорівнює i1, n2 - i2 і т. д. При нарахуванні на початкову суму простих відсотків необхідно скласти процентні ставки i1, i2, in, А при складних - знайти їх добуток.

При нарахуванні простих відсотків застосовується формула

S = P (1 + i1 t1 + i2 t2 + i3 t3 + in tn), (7)

де in - Ставка простих відсотків; tn - Тривалість періоду нарахування.

приклад 10

У перший рік на суму 10 000 руб. нараховуються 10% річних, у другій - 10,5% річних, в третій - 11% річних. Визначити суму погашення, якщо відсотки виплачуються щорічно.

Рішення

S = 10 000 (1 + 0,10 · 1 +0,105 · 1 + 0,11 · 1) = 13 150, руб .;

? Р = 3 150, руб.

При нарахуванні складних відсотків застосовується формула

S = P (1 + i1 t1) · (1+ i2 t2) · (1+ i3 t3) · (1+ in tn) (8)

де in - Ставка складних відсотків; tn - Тривалість періоду її нарахування.

приклад 11

У перший рік на суму 10 000 руб. нараховуються 10% річних, у другій - 10,5% річних, в третій - 11% річних. Визначити суму погашення, якщо відсотки капіталізуються.

Рішення

S = 10 000 (1 + 0,10 · 1) · (1 +0,105 · 1) · (1 + 0,11 · 1) = 13 492, 05, руб.


Наведені приклади підтверджують той факт, що нарахування простих відсотків пов'язано з визначенням нарощеної суми по відношенню до незмінною базі, т. Е. Кожен рік (період) відсотки нараховуються на одну і ту ж початкову вартість. Якщо розглянути приклад 10, то в цьому випадку нарощена вартість складе:

- За перший рік: S1 = 10 000 (1 + 0,10 · 1) = 11 000, руб .;

? Р1 = 1 000, руб .;

- За другий рік: S2 = 10 000 (1 + 0,105 · 1) = 11 050, руб .;

? Р 2 = 1 050, руб .;

- За третій рік: S3 = 10 000 (1 + 0,11 · 1) = 11 100, руб .;

? Р 3 = 1 100, руб.

Таким чином, сума відсотків за 3 роки складе:

? Р = 1 000 + 1 050 + 1 100 = 3 150, руб. (Див. Приклад 10).

У разі нарахування складних відсотків, вихідна сума змінюється після кожного нарахування, так як відсотки не виплачуються, а накопичуються на основну суму, т. Е. Відбувається нарахування відсотків на відсотки. Розглянемо приклад 11:

- В першому році: S1 = 10 000 (1 + 0,10 · 1) = 11 000, руб .;

- У другому році: S2 = 11000 (1 + 0,105 · 1) = 12 100, руб .;

- В третьому році: S3 = 12100 (1 + 0,11 · 1) = 13 431, руб.

Таким чином, сума відсотків за 3 роки складе: i3 = 3 431, руб. (Див. Приклад 10).

При розробці умов контрактів або їх аналізі іноді виникає необхідність у вирішенні зворотних задач - визначення терміну операції або рівня процентної ставки.

Формули для розрахунку тривалості позички в роках, днями і т. Д. Можна розрахувати, перетворюючи формули (1) і (5).

Термін позики (вкладу):

t =  · 365. (9)

приклад 12

Визначити на який термін вкладнику помістити 10 000 руб. на депозит при нарахуванні простих відсотків за ставкою 10% річних, щоб отримати 12 000 руб.

Рішення

t = (  ) · 365 = 730 днів (2 роки).

Процентну ставку можна розрахувати за формулою

i = (  ). (10)

приклад 13

Клієнт має можливість вкласти в банк 50 000 руб. на півроку. Визначити процентну ставку, що забезпечує дохід клієнта в сумі 2 000 руб.

Рішення


t = (  ) = 0,08 = 8% річних

Аналогічно визначається необхідний термін закінчення фінансової операції та її протяжність, або розмір необхідної процентної ставки при нарахуванні складних відсотків.

Для спрощення розрахунків значення коефіцієнта (множник) нарощення представлені в дод. 3.

 



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Дисконтування. Розрахунок первісної вартості | Завдання для самостійного рішення | облік інфляції | Операції з векселями | Операції з цінними паперами | валютні розрахунки | Кредитні відносини | Завдання для самостійного рішення | ГЛОСАРІЙ | ВИСНОВОК |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати