загрузка...
загрузка...
На головну

Визначення оптимального перетину балки при вигині

  1. I. КЛАСИЧНЕ ВИЗНАЧЕННЯ ІМОВІРНОСТІ.
  2. II. 6.1. Визначення поняття діяльності
  3. VI. Визначення понять.
  4. Z ВИЗНАЧЕННЯ СКЛАДУ управлінських СПОСОБНОСТЕЙ 527
  5. А. Визначення розрахункової вологості ґрунту робочого шару
  6. Аксіоми теорії ймовірностей. Дискретні простору елементарних фіналів. Класичне визначення ймовірності
  7. Алгоритм пошуку опорного і оптимального рішення

задані розмір l, Нормативні навантаження Fн, Mн, qн, Межа плинності матеріалу sт і коефіцієнти надійності

потрібно:

1. Побудувати епюри поперечної сили Q і згинального моменту М.

2. З розрахунку за граничними станами підібрати прокатний двотавр, розміри поперечного перерізу у вигляді кола і прямокутника з заданим співвідношенням сторін h / b.

3. За максимального значення поперечної сили визначити дотичні напруження на нейтральній осі і перевірити міцність.

4. Порівняти варіанти балки по витраті матеріалу і вибрати найбільш оптимальний перетин.

Початкові дані

 Шифр l м  h / b FнкН MнкНм qнкН / м sтМПа
 31-5  2,6  1,7  1,15  1,10  1,35  1,15  0,9  1,0

Розрахункова схема і епюри

Мал. 1

Рішення

Задані нормативні значення опору матеріалу і навантажень. Розрахункові значення навантажень отримаємо, множачи нормативні величини на коефіцієнт надійності по навантаженню:

F = Fн  = 12 · 1,15 = 13,8 кН,

M = Mн  = 50 · 1,2 = 60 кНм,

q = qн  = 13 · 1,35 = 17,55 кН / м.

Нормативне опір одно межі текучості, тобто Rн = sT = 360 МПа. Розрахунковий опір матеріалу буде

Проведемо координатні осі y і z, як зазначено на розрахунковій схемі. Покажемо опорні реакції R1 і R2. При визначенні внутрішніх сил знадобляться опорні реакції, тому визначимо їх за допомогою рівнянь рівноваги. Доцільно спочатку скласти таке рівняння рівноваги, яке буде містити тільки одне з невідомих. Намети точку В і складемо рівняння

,

Розділимо всі складові на l і знайдемо R2

Складемо друге рівняння рівноваги

,

Звідси

 = -13,8 + 2 · 17,55 · 2,6 - 48,55 = 28,91 кН.

Далі приступаємо до визначення внутрішніх сил Q і Мх в перетинах балки за допомогою методу перетинів. Розіб'ємо балку по довжині на 3 ділянки і позначимо їх. Розглянемо кожну ділянку окремо. Проведемо всередині них довільні перетину 1-1, 2-2, 3-3.

1 ділянку z  [0; ]

 Доцільно розглянути ліву відтятою частина балки (рис. 2), так як до неї докладено менше навантажень, і це спричинить менший обсяг обчислень. Покажемо осі y, z, змінне відстань z, точку С, поперечну силу Q, вигинає момент Мх. Для внутрішніх сил тут і далі обираються позитивні напрямки, що дозволяє отримати відповіді, що враховують встановлені правила знаків. Вони полягають в тому, що позитивні поперечні сили створюють момент за годинниковою стрілкою щодо відтятою частини, позитивні згинальні моменти розтягують нижні волокна. Отримаємо їх з рівнянь рівноваги. Перше з них дає поперечну силу

,

Ця величина постійна, тобто не залежить від z, тому на першій ділянці епюра Q є горизонтальною прямою лінією.

Cоставить друге рівняння рівноваги і знайдемо згинальний момент

, ,

При складанні цього рівняння момент сили відносно точки С, спрямований за годинниковою стрілкою прийнятий зі знаком плюс. Згинальний момент в перетинах є лінійною функцією z. Тому знайдемо значення тільки на кінцях ділянки

,

За цими результатами будуємо епюру згинальних моментів першої ділянки у вигляді прямої лінії.

2 ділянку z  [0; l]

Розглянемо ліву відтятою частина балки (рис. 3). Зазначимо на схемі осі y, z, точку D, поперечну силу Q, вигинає момент Мх.

Поперечну силу знаходимо з рівняння рівноваги

Поперечна сила є лінійною функцією координати перетину. Необхідно знаходити значення в двох точках

Будуємо епюру для цієї ділянки.

Скористаємося рівнянням рівноваги для визначення згинального моменту

,

Отриманий результат свідчить, що епюра згинальних моментів на цій ділянці є криволінійної, тому необхідно мати три її точки. Очевидно, що дві точки доцільно мати на кінцях ділянки. Положення ж третьої точки не збігається з серединою ділянки і має бути встановлено спеціально. Справа в тому, що поперечна сила в деякому перетині цієї ділянки звертається в нуль, і з цього випливає, що вигинає момент в ньому є екстремумів функції згинального моменту. У цьому місці поперечна сила змінює знак з плюса на мінус, тому екстремум є конкретно максимумом. Щоб встановити положення цього перетину, прирівняємо поперечну силу до нуля

.

Звідси маємо

Підставами це значення в (2) і знайдемо максимум функції згинального моменту на цій ділянці

 кНм.

Для побудови епюри знаходимо ще згинальні моменти в кінцевихперетинах

Будуємо відповідну епюру за трьома значеннями у вигляді кривої лінії.

3 ділянку z  [0; l]

 Для цієї ділянки доцільніше використовувати праву відтятою частина (рис. 4). Вказуємо на схемі осі y, z, точку Е, поперечну силу Q, вигинає момент Мх.

Складемо рівняння рівноваги і визначимо з нього поперечну силу.

 , Q - qz + R2 = 0,

 (1)

Отримано лінійна функція, тому знаходимо два значення поперечної сили

Q (0) = -48,55 кН,

Друге значення збігається з результатом для даного перетину, отриманим у другому ділянці.

Тепер знайдемо згинальні моменти.

, ,

 (2)

У трьох точках ділянки

За результатами рахунку побудовані епюри M і Q, показані на рис. 1.

Тепер перейдемо до підбору перерізів. Небезпечним є перетин з максимальним изгибающим моментом Мmax = 127,1 кНм. Вимагаються розміри поперечних перерізів і номер двутавра знайдуться з умови міцності, яке має вигляд

 (1)

де W - шуканий осьової момент опору поперечного перерізу. Визначимо його з (1)

.

Визначимо перетину, відповідні такому значенню моменту опору.

двотавр

По таблиці сортаменту найбільш підходящим є двотавр № 30 з осьовим моментом опору W = 472 см3, Осьовим моментом інерції J = 7080 см4, Площею перетину Ад = 46,5 см2, Статичним моментом полусеченія S = 268 см3, З товщиною стінки d = 0,65 см.

Перевіримо міцність по дотичним напруженням. У перетині з найбільшою поперечної силою повинна виконуватися умова

 (2)

тут Rs - Розрахунковий опір матеріалу балки при зсуві, b - ширина перерізу на рівні нейтрального шару, тобто b = d = 0,65 см. Для стали в даній балці

Rs= 0,6R = 0,6 · 313 = 187,8 МПа.

Підставляючи чисельні значення в (2), отримаємо

Очевидно, що умова міцності виконується.

прямокутник

Осьової момент опору прямокутника обчислюється за формулою

Прирівнюючи його до знайденого вище значенням, знаходимо

Висота перерізу і його площа складають

h = 1,7 · 9,78 = 16,6 см, Aп = 9,78 · 16,6 = 162,6 см2.

Умова міцності по дотичним напруженням має вигляд

 (3)

Чисельні підстановки в (3) дають

Умова міцності виконується.

коло

Аналогічно знаходимо діаметр і площа перетину.

Перевіримо умову міцності по дотичним напруженням

 (4)

Підставляючи числа, маємо

Умова міцності (4) виконується.

Співвідношення між знайденими площами мають вигляд

Ад : Ап : Ак = 1: 3,5: 4,66.

Оскільки витрата матеріалу прямо залежить від площі поперечного перерізу балки, це означає, що балка з двутавра є найбільш оптимальною. Її площа перетину багаторазово менше, ніж в інших випадках.

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ

 Второечіслошіфра м  h / b FнкН MнкНм qнкН / м sтМПа
 2,5  1,9  1,10  1,15  1,35  1,05  0,80  0,85
 2,4  1,5  1,05  1,10  1,30  1,15  0,90  1,10
 2,2  2,0  1,15  1,20  1,25  1,10  0,85  1,15
 2,3  1,8  1,20  1,25  1,40  1,05  0,95  1,00
 2,1  1,6  1,11  1,18  1,38  1,12  0,88  1,13





Попередня   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   26   27   28   29   30   Наступна

С.І. Євтушенко | ЗАГАЛЬНІ ВКАЗІВКИ ЩОДО ВИКОНАННЯ ЗАВДАНЬ | Визначення внутрішніх сил методом перетинів | Геометричні характеристики перерізу з прокатних профілів | Геометричні характеристики симетричного перетину | Розтягання - стискання прямолінійного ступеневої стрижня | І жорсткість за граничними станами | Плоске напружений стан в точці і міцність | Кручення статично невизначеного стержня | Підбір перерізу сталевої балки при прямому поперечному вигині |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати