загрузка...
загрузка...
На головну

Кручення статично невизначеного стержня

  1. Види тиску. Вакуум. П'єзометричний і гідростатичний напір
  2. Відцентровий стиск короткого стрижня
  3. Хвилі екстатичних емоцій.
  4. Гомеостатичні механізми організму 1 сторінка
  5. Гомеостатичні механізми організму 2 сторінка
  6. Гомеостатичні механізми організму 3 сторінка
  7. Гомеостатичні механізми організму 4 сторінка

Сталевий стрижень змінного перерізу навантажений моментами М1, М2. Модуль зсуву матеріалу G = 80 ГПа.

Потрібно: розкрити статичну невизначеність; побудувати епюри крутних моментів Мк і найбільших дотичних напружень tmax; визначити розміри поперечних перерізів з розрахунку на міцність по напрузі, що допускається; побудувати епюру кутів закручування j.

Початкові дані

 Шифр М1кНм М2кНм l м  h / b  d / b Dср/ b tт МПа nт
 31-6  1,4  1,75  1,1  1,4  2,2

Розрахункова схема і епюри

Рішення

Позначимо поздовжню вісь z, точки A і B, номери ділянок 1, 2, 3. Кінці стрижня затиснені, тому виникають реактивні моменти MA і MB, Які необхідно обчислити. Кількість невідомих опорних реакцій дорівнює двом, а рівняння статики для даної системи сил єдине:

MA - M1 + M2- MB = 0. (1)

Тому дана система один раз статично невизначена. Крім рівняння (1) потрібно скласти ще одне рівняння, що містить ті ж невідомі MA і MB. З цією метою поступимо таким чином. Відкинемо праве защемлення, але його вплив замінимо моментом MB, Поки невідомим за величиною і напрямком. Таким чином, отримаємо розрахункову схему 2), еквівалентну вихідній схемі 1). Тепер до стрижня прикладені три навантаження: M1, M2, MB у вигляді моментів, в тому числі і шуканий - MB. Оскільки правий кінець стержня затисненого, кут повороту цього перетину навколо поздовжньої осі стержня повинен бути рівним нулю, тобто  . Такий поворот в точці B є результатом дії трьох силових факторів: M1, M2, MB.

За принципом незалежності дії сил кут повороту перетину B можна спочатку підрахувати від кожного моменту і результати потім підсумувати. Поступаючи так, отримаємо друге рівняння, яке доповнює (1):

 . (2)

При складанні цього рівняння враховано, що момент M1 закручує лише перша ділянка стержня, момент M2 - Ділянки 1 і 2, а момент MB - Всі три ділянки. Скоротимо ліву частину рівняння (2) на  і G і отримаємо

 . (3)

Рівняння (1) і (3) утворюють систему для визначення MA і MB. Для її вирішення спочатку необхідно визначити моменти інерції J  , J  , J .

Перша ділянка стрижня являє собою тонкостінну трубу з співвідношенням розмірів Dср :  = 10. Для її перетину

 (4)

Перетин стрижня другої ділянки - суцільне кругле. Його момент інерції при крученні

 . (5)

Третя ділянка стержня має прямокутний поперечний переріз. Тому

J  (6)

тут  - Табульований коефіцієнт, що залежить від співвідношення сторін прямокутника. Для заданого співвідношення h / b = 1,75 значення  береться з таблиці.

Таблиця

 b / а  0,666  0,571  0,5  0,4  0,333  0,25  0,166  0,125  0,1
 а / b  1,5  1,75  2,5
 a b h  0,2080,1411,000  0,2310,1960,859  0,2390,2140,820  0,2460,2290,795  0,2580,2490,766  0,2670,2630,753  0,2820,2810,745  0,2990,2990,743  0,3070,3070,742  0,3130,3130,742  0,3330,3330,742

Формула (6) дає результат

J  . (7)

Значення моментів, що крутять і знайдені значення моментів інерції перерізів підставляємо в (3)

Скорочуємо у всіх доданків b4, Проводимо нескладні арифметичні підрахунки і отримуємо

.

Після перетворень рівняння набирає вигляду

12,94 MB = 28,17.

Звідси маємо

MB =  2,176 кНм.

З рівняння (1) знаходимо реактивний момент в затисканні лівого кінця:

MA = M1 - M2 + MB = 7 - 5 + 2,176 = 4,176 кНм.

Тепер можна приступити до побудови епюри крутних моментів. У довільному місці кожної ділянки стрижня проведемо перетину 1-1, 2-2, 3-3.

 Для прикладу розглянемо першу ділянку докладно. Візьмемо ліву відтятою частина і покажемо крутний момент в перерізі M  . Хоча його напрямок можна вибирати довільно, краще обрати позитивний напрямок, тобто таке, щоб при погляді в торець відтятою частини його було видно спрямованим проти годинникової стрілки.

Весь стрижень знаходиться в рівновазі. Значить, і будь-яка відтятою частина повинна бути в рівновазі. Отже, можна записати рівняння рівноваги:

Звідси маємо

Знак мінус вказує на те, що в даному перетині крутний момент протилежний у напрямку, показаному на кресленні, тобто направлений за годинниковою стрілкою. Значить, вийшов знак автоматично задовольняє правилу знаків. Це наслідок того, що заздалегідь напрямок крутного моменту було вибрано позитивним.

Аналогічні дії призведуть до моментів в перетинах другого і третього ділянок

 кНм,

 кНм.

За підсумками обчислень будуємо епюру крутних моментів. Розміри поперечного перерізу стрижня необхідно знаходити з умови міцності

 (8)

Тут i - номер ділянки. Ліва частина нерівності є найбільше значення дотичного напруження по модулю для всього стрижня. Права частина - допустиме напруження для матеріалу по дотичним напруженням. Встановимо їх. Для кожної ділянки знайдемо максимальне дотичне напруження по загальній формулі

Крутний момент вже знайдені. Визначимо моменти опору при крученні:

В останній формулі  - Табульований коефіцієнт, що залежить від співвідношення сторін прямокутника. Для заданого співвідношення h / b = 1,75 значення  взято з таблиці.

Для кожної ділянки визначаємо локальні максимуми дотичних напружень:

 (9)

 (10)

 (11)

З порівняння результатів бачимо, що небезпечними є перерізи другої ділянки.

Допустиме дотичне напруження

.

Умова міцності (8) приймає конкретний вид

Звідси визначаємо ширину прямокутного перетину

Решта розміри знаходяться із співвідношень, заданих умовою завдання:

Знаючи розмір b, тепер за формулами (9) - (11) знайдемо найбільше дотичне напруження для кожної ділянки:

Максимальна дотичне напруження в перетинах другої ділянки мусить виходити в даній задачі рівним допустимому напрузі, тому що саме за умовою міцності цієї ділянки визначений розмір b. Невелика різниця, що утворилася тут: 95,44 МПа замість 95,45 МПа, пояснюється арифметичними помилками округлення чисел в ході обчислень.

За допомогою цих результатів будуємо епюру найбільших дотичних напружень .

Визначимо тепер кути закручування перетинів в точках A, C, D, B, послідовно. Попередньо формулами (4), (5), (7) необхідно обчислити моменти інерції перерізів:

.

Лівий кінець стержня закріплений. Тому  . Кут повороту перетину C дорівнює куту закручування першої ділянки. значить,

Кут повороту перетину D складається з двох складових:  , де  - Кут закручування другої ділянки стрижня. Підставляючи, знаходимо

Аналогічно для перетину B маємо

Нульового результату слід було очікувати, так як перетин B защемлено, і його кут повороту, зрозуміло, повинен дорівнювати нулю. За отриманими даними будуємо епюру кутів закручування .

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ

 Друге число шифру М1кНм М2кНм l м  h / b  D / b  d / b Dср/ b tт МПа nт
 1,2  1,0  2,0  1,0  1,5  1,5
 1,4  2,0  1,5  1,0  1,2  2,0
 1,1  1,5  2,0  0,8  1,8  1,8
 1,3  2,0  1,8  1,2  1,6  1,6
 1,2  1,5  1,6  1,1  1,9  1,7





Попередня   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   26   27   28   29   30   Наступна

Завдання для домашніх завдань, приклади рішень | С. І. Євтушенко | ЗАГАЛЬНІ ВКАЗІВКИ ЩОДО ВИКОНАННЯ ЗАВДАНЬ | Визначення внутрішніх сил методом перетинів | Геометричні характеристики перерізу з прокатних профілів | Геометричні характеристики симетричного перетину | Розтягання - стискання прямолінійного ступеневої стрижня | І жорсткість за граничними станами | Перевірка міцності дерев'яної балки при прямому поперечному вигині | Визначення оптимального перетину балки при вигині |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати