Прямолінійний пружний ступінчастий стрижень навантажений уздовж осі нормативними зосередженими силами F1н, F2н і рівномірно розподіленим навантаженням qн. Модуль пружності матеріалу Е = 210 ГПа, межа плинності матеріалу sт.
Обчислити поздовжню силу N, напруги в поперечних перетинах s, відносну лінійну деформацію e і переміщення u для характерних перерізів; побудувати епюри N, s, e, u; перевірити міцність конструкції по першій групі граничних станів.
Початкові дані
| Шифр | qнкН / м | F1нкН | F2нкН | RМПа | l м | Acм2 | ||
| 31-6 | 0,95 | 1,1 | 1,0 | 2,0 |
Розрахункова схема і епюри
Рішення
На малюнку показуємо координатну вісь z-ів з початком на лівому кінці стержня, спрямовану вправо. У закладенні правого кінця виникає опорна реакція R0. Вона єдина, оскільки всі сили, прикладені до стрижня, спрямовані вздовж однієї прямої, в даному випадку уздовж поздовжньої осьової лінії стержня. Вона увійде в рівняння рівноваги, тому обчислимо її. Напрямок вправо, показане на кресленні, вибрано довільно. Істинне напрямок буде знайдено в ході обчислень.
Розрахунки на першому етапі будемо проводити за другою групою граничних станів, тобто за нормативними навантажень. В цілому стрижень знаходиться в рівновазі. Тому система сил, прикладених до нього, включаючи і опорну реакцію, повинна задовольняти рівнянню рівноваги
.
Звідси знаходимо
Знак мінус, отриманий у відповіді, означає, що дійсний напрям реакції протилежно напрямку, обраному на схемі.
Стрижень уздовж довжини має чотири ділянки. Позначимо їх на розрахунковій схемі. Для визначення поздовжніх сил далі застосуємо метод перетинів. З цією метою всередині кожної ділянки, в довільному місці, проводимо поперечним перерізом 1-1, 2-2, 3-3, 4-4. В результаті стрижень кожен раз розділяється на ліву і праву частини. Рівняння рівноваги будь-який з них дає значення поздовжньої сили і її напрямок. Розглянемо кожну ділянку окремо.
1 ділянку z [0; l]
Візьмемо для розгляду ліву відтятою частина, так як до неї докладено меншу кількість сил. Зазначимо вісь z-ів з початком на лівому кінці і поздовжню силу N. Її краще направляти в позитивну сторону, що в даному випадку означає напрямок на розтягнення, тобто направо. Зручність такого прийому полягає в тому, що при його застосуванні автоматично виходить відповідь, що враховує правило знаків для поздовжньої сили.
Складемо рівняння рівноваги для відтятою частини:
F1н + N = 0.
Звідси маємо
N = -F1н = -16 КН.
Отриманий у відповіді знак мінус означає, що напрямок поздовжньої сили, показане на малюнку, не відповідає істинному, т. Е. Вона спрямована вліво, на стиск.
Для побудови епюри N проводимо її нульову лінію паралельно поздовжньої осі стержня. Отриманий результат є постійною негативною величиною. Тому на епюрі їй відповідає горизонтальна лінія, проведена нижче нульової лінії на відстані, відкладеному в обраному масштабі. Знак мінус на такому малюнку вказується в кружечку, сама епюра штрих перпендикулярно нульової лінії, тобто вертикально. В обраному масштабі штрихові лінії зображують значення поздовжніх сил в перетинах. Тому Штрихована епюри слід строго вертикально (не горизонтально, чи не похило!).
Тепер знайдемо нормальні напруги в перетинах
Тут при підстановці чисел в формулу слід перейти до одиниць виміру в системі СІ:
1 кН = 103 Н, 1 см2 = 10-4 м2.
Перейдемо до визначення відносних деформацій. Згідно із законом Гука
У такому ж порядку розглядаються і інші ділянки.
2 ділянку z [0; l]
Такі ж дії, як для першої ділянки, приведуть до наступних результатів:
.
.
Отримано лінійна функція. Тому епюра буде прямолінійною. Досить знайти дві її точки.
N (0) = -16 кH.
Знак мінус означає, що обраний напрям стрілки не відповідає дійсному, тобто тут сила спрямована вліво, до перетину, на стиск.
N (l) = -16 + 24 · 1 = 8 кH.
За отриманими двом числам будуємо епюру поздовжньої сили для даної ділянки у вигляді прямої похилої лінії.
Знайдемо нормальні напруги. У загальному вигляді маємо лінійну функцію
Визначимо її значення в двох точках. На лівому кінці ділянки
На правому кінці
Відповідні відносні деформації
3 ділянку z [0; l]
Тут доцільно розглядати праву відтятою частина. Вісь z-ів направляємо довільно, вправо. Поздовжню силу N зображуємо у вигляді стрілки, направленої ліворуч, в позитивну сторону, тобто на розтягнення.
Знак плюс, отриманий тут, означає, що поздовжня сила у напрямку збігається з показаним на малюнку, тобто направлена ??від перетину, ліворуч, на розтягнення.
Отримано результат у вигляді постійної величини. Тому на епюрі буде горизонтальна лінія, відкладена від нульової в тому ж масштабі, як для попередніх ділянок.
Нормальні напруги в поперечному перерізі:
Відносні деформації:
4 ділянку
Складаємо рівняння рівноваги і знаходимо подовжню силу:
Нормальні напруги:
Відповідні відносні деформації:
Перейдемо до визначення переміщень. З цією метою по довжині стрижня намічаємо характерні точки a, b, c, e, f, для яких будемо обчислювати переміщення.
Вони збігаються з межами ділянок. На другій ділянці діє розподілене навантаження. Тут епюра переміщень буде криволінійної. Тому для її побудови потрібна ще одна додаткова точка. В якості такої оберемо точку d, де N, , дорівнюють нулю. Переміщення в цій точці екстремальне (max або min) для цієї ділянки. Знайдемо її положення, прирівнюючи поздовжню силу до нуля
Звідси маємо
Тепер можна приступити до безпосереднього визначення переміщень точок. Точка а закріплена, нерухома. Тому
Переміщення точки b одно подовженню четвертого ділянки стрижня, тобто
Переміщення точки c дорівнює сумі деформацій третього і четвертого ділянок
переміщення ub вже знайдено, тому
Переміщення точки d дорівнює сумі
де - Подовження ділянки cd. На цій ділянці відносна деформація - змінна величина, тому його подовження дорівнює площі трикутника на епюрі тобто
Таким чином,
Аналогічно визначаються переміщення точок e і f:
Міцність конструкції перевіряємо по першій групі граничних станів. Умова міцності має вигляд
Максимальна по модулю значення нормального напруження в перетинах стрижня, рівне 80 МПа, обчислено за нормативними навантажень. Його розрахункове значення повинно бути визначено з урахуванням коефіцієнта надійності за навантаженням, тобто
.
Отже, умова міцності виконується. Висновок: міцність конструкції забезпечена.
ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ
| друге чіслошіфра | qкН / м | F1кН | F2кН | RМПа | l м | Acм2 | ||
| 0,85 | 1,2 | 1,0 | 2,0 | |||||
| 0,90 | 1,3 | 1,5 | 1,8 | |||||
| 0,95 | 1,1 | 1,2 | 1,6 | |||||
| 0,90 | 1,2 | 1,8 | 1,4 | |||||
| 0,85 | 1,4 | 1,4 | 1,9 |
Завдання для домашніх завдань, приклади рішень | С. І. Євтушенко | ЗАГАЛЬНІ ВКАЗІВКИ ЩОДО ВИКОНАННЯ ЗАВДАНЬ | Визначення внутрішніх сил методом перетинів | Геометричні характеристики перерізу з прокатних профілів | Плоске напружений стан в точці і міцність | Кручення статично невизначеного стержня | Підбір перерізу сталевої балки при прямому поперечному вигині | Перевірка міцності дерев'яної балки при прямому поперечному вигині | Визначення оптимального перетину балки при вигині |