Розтягання - стискання прямолінійного ступеневої стрижня

Прямолінійний пружний ступінчастий стрижень навантажений уздовж осі нормативними зосередженими силами F_1н, F_2н і рівномірно розподіленим навантаженням q_н. Модуль пружності матеріалу Е = 210 ГПа, межа плинності матеріалу s_т.

Обчислити поздовжню силу N, напруги в поперечних перетинах s, відносну лінійну деформацію e і переміщення u для характерних перерізів; побудувати епюри N, s, e, u; перевірити міцність конструкції по першій групі граничних станів.

Початкові дані

Шифр	q_нкН / м	F_1нкН	F_2нкН	RМПа			l м	Acм²
31-6					0,95	1,1	1,0	2,0

Розрахункова схема і епюри

Рішення

На малюнку показуємо координатну вісь z-ів з початком на лівому кінці стержня, спрямовану вправо. У закладенні правого кінця виникає опорна реакція R₀. Вона єдина, оскільки всі сили, прикладені до стрижня, спрямовані вздовж однієї прямої, в даному випадку уздовж поздовжньої осьової лінії стержня. Вона увійде в рівняння рівноваги, тому обчислимо її. Напрямок вправо, показане на кресленні, вибрано довільно. Істинне напрямок буде знайдено в ході обчислень.

Розрахунки на першому етапі будемо проводити за другою групою граничних станів, тобто за нормативними навантажень. В цілому стрижень знаходиться в рівновазі. Тому система сил, прикладених до нього, включаючи і опорну реакцію, повинна задовольняти рівнянню рівноваги

Звідси знаходимо

Знак мінус, отриманий у відповіді, означає, що дійсний напрям реакції протилежно напрямку, обраному на схемі.

Стрижень уздовж довжини має чотири ділянки. Позначимо їх на розрахунковій схемі. Для визначення поздовжніх сил далі застосуємо метод перетинів. З цією метою всередині кожної ділянки, в довільному місці, проводимо поперечним перерізом 1-1, 2-2, 3-3, 4-4. В результаті стрижень кожен раз розділяється на ліву і праву частини. Рівняння рівноваги будь-який з них дає значення поздовжньої сили і її напрямок. Розглянемо кожну ділянку окремо.

1 ділянку z [0; l]

Візьмемо для розгляду ліву відтятою частина, так як до неї докладено меншу кількість сил. Зазначимо вісь z-ів з початком на лівому кінці і поздовжню силу N. Її краще направляти в позитивну сторону, що в даному випадку означає напрямок на розтягнення, тобто направо. Зручність такого прийому полягає в тому, що при його застосуванні автоматично виходить відповідь, що враховує правило знаків для поздовжньої сили.

Складемо рівняння рівноваги для відтятою частини:

F_1н+ N = 0.

Звідси маємо

N = -F_1н = -16 КН.

Отриманий у відповіді знак мінус означає, що напрямок поздовжньої сили, показане на малюнку, не відповідає істинному, т. Е. Вона спрямована вліво, на стиск.

Для побудови епюри N проводимо її нульову лінію паралельно поздовжньої осі стержня. Отриманий результат є постійною негативною величиною. Тому на епюрі їй відповідає горизонтальна лінія, проведена нижче нульової лінії на відстані, відкладеному в обраному масштабі. Знак мінус на такому малюнку вказується в кружечку, сама епюра штрих перпендикулярно нульової лінії, тобто вертикально. В обраному масштабі штрихові лінії зображують значення поздовжніх сил в перетинах. Тому Штрихована епюри слід строго вертикально (не горизонтально, чи не похило!).

Тепер знайдемо нормальні напруги в перетинах

Тут при підстановці чисел в формулу слід перейти до одиниць виміру в системі СІ:

1 кН = 10³ Н, 1 см² = 10^{-4 м2}.

Перейдемо до визначення відносних деформацій. Згідно із законом Гука

У такому ж порядку розглядаються і інші ділянки.

2 ділянку z [0; l]

Такі ж дії, як для першої ділянки, приведуть до наступних результатів:

Отримано лінійна функція. Тому епюра буде прямолінійною. Досить знайти дві її точки.

N (0) = -16 кH.

Знак мінус означає, що обраний напрям стрілки не відповідає дійсному, тобто тут сила спрямована вліво, до перетину, на стиск.

N (l) = -16 + 24 · 1 = 8 кH.

За отриманими двом числам будуємо епюру поздовжньої сили для даної ділянки у вигляді прямої похилої лінії.

Знайдемо нормальні напруги. У загальному вигляді маємо лінійну функцію

Визначимо її значення в двох точках. На лівому кінці ділянки

На правому кінці

Відповідні відносні деформації

3 ділянку z [0; l]

Тут доцільно розглядати праву відтятою частина. Вісь z-ів направляємо довільно, вправо. Поздовжню силу N зображуємо у вигляді стрілки, направленої ліворуч, в позитивну сторону, тобто на розтягнення.

Знак плюс, отриманий тут, означає, що поздовжня сила у напрямку збігається з показаним на малюнку, тобто направлена ??від перетину, ліворуч, на розтягнення.

Отримано результат у вигляді постійної величини. Тому на епюрі буде горизонтальна лінія, відкладена від нульової в тому ж масштабі, як для попередніх ділянок.

Нормальні напруги в поперечному перерізі:

Відносні деформації:

4 ділянку

Складаємо рівняння рівноваги і знаходимо подовжню силу:

Нормальні напруги:

Відповідні відносні деформації:

Перейдемо до визначення переміщень. З цією метою по довжині стрижня намічаємо характерні точки a, b, c, e, f, для яких будемо обчислювати переміщення.

Вони збігаються з межами ділянок. На другій ділянці діє розподілене навантаження. Тут епюра переміщень буде криволінійної. Тому для її побудови потрібна ще одна додаткова точка. В якості такої оберемо точку d, де N, , дорівнюють нулю. Переміщення в цій точці екстремальне (max або min) для цієї ділянки. Знайдемо її положення, прирівнюючи поздовжню силу до нуля

Звідси маємо

Тепер можна приступити до безпосереднього визначення переміщень точок. Точка а закріплена, нерухома. Тому

Переміщення точки b одно подовженню четвертого ділянки стрижня, тобто

Переміщення точки c дорівнює сумі деформацій третього і четвертого ділянок

переміщення u_b вже знайдено, тому

Переміщення точки d дорівнює сумі

де - Подовження ділянки cd. На цій ділянці відносна деформація - змінна величина, тому його подовження дорівнює площі трикутника на епюрі тобто

Таким чином,

Аналогічно визначаються переміщення точок e і f:

Міцність конструкції перевіряємо по першій групі граничних станів. Умова міцності має вигляд

Максимальна по модулю значення нормального напруження в перетинах стрижня, рівне 80 МПа, обчислено за нормативними навантажень. Його розрахункове значення повинно бути визначено з урахуванням коефіцієнта надійності за навантаженням, тобто

Отже, умова міцності виконується. Висновок: міцність конструкції забезпечена.

ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ

друге чіслошіфра	qкН / м	F₁кН	F₂кН	RМПа			l м	Acм²
					0,85	1,2	1,0	2,0
					0,90	1,3	1,5	1,8
					0,95	1,1	1,2	1,6
					0,90	1,2	1,8	1,4
					0,85	1,4	1,4	1,9

Попередня 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Наступна

Завдання для домашніх завдань, приклади рішень | С. І. Євтушенко | ЗАГАЛЬНІ ВКАЗІВКИ ЩОДО ВИКОНАННЯ ЗАВДАНЬ | Визначення внутрішніх сил методом перетинів | Геометричні характеристики перерізу з прокатних профілів | Плоске напружений стан в точці і міцність | Кручення статично невизначеного стержня | Підбір перерізу сталевої балки при прямому поперечному вигині | Перевірка міцності дерев'яної балки при прямому поперечному вигині | Визначення оптимального перетину балки при вигині |