загрузка...
загрузка...
На головну

Рівняння Чепмена-Колмогорова

  1. I. Найпростіші тригонометричні рівняння
  2. VII. Неоднорідні рівняння першого ступеня
  3. Автокорреляция в залишках, її вимір і інтерпретація. Критерій Дарбіна-Уотсона в оцінці якості трендового рівняння регресії.
  4. Аналіз основного рівняння лопаточного насоса.
  5. Аналітичне вирівнювання часових рядів. Оцінка параметрів рівняння тренду.
  6. балансові рівняння
  7. Вплив температури на хімічну рівновагу. Рівняння ізобари та ізохори хімічної реакції

Розглянемо випадковий процес з дискретними станами S1, S2... Sn, Число яких звичайно.

Нехай переходи зі стану Si в стан Sj відбуваються під впливом найпростіших потоків подій з інтенсивністю ?ij
(I, j = 1, ..., n). Якщо безпосередній перехід зі стану Si в стан Sj неможливий, то вважаємо ?ij = 0.

Даний процес можна зобразити за допомогою розмічені графа станів системи, що представляє собою орієнтований граф, вершини якого відповідають станам процесу, а дуги - можливим переходам зі стану в стан. Кожна дуга графа позначається відповідною інтенсивністю переходу ?ij (Рис.7.3).

Можна довести, що даний випадковий процес є марковским в силу того, що процес виходу з будь-якого становища є найпростішим і, отже, відповідна ймовірність переходу в інший стан не залежить від тривалості перебування процесу в попередньому стані.

позначимо pi(T) ймовірність того, що в момент часу t процес буде перебувати в стані Si. Очевидно, що для будь-якого часу t має виконуватися умова нормування

.

Розглянемо процес в момент часу t і знайдемо ймовірності станів через нескінченно малий проміжок dt. Виділимо один зі станів, наприклад, Sk. імовірність pk(T + dt) того, що в момент часу t + dt процес буде перебувати в цьому стані (подія А), Можна знайти за формулою повної ймовірності.

гіпотезами Hi служать взаємовиключні події, які полягають в тому, що в момент часу t процес знаходиться в стані Si (I = 1, ..., n). Ймовірності цих гіпотез P (Hi) = Pi(T). умовні ймовірності PHi(A) переходу зі стану Si в стан Sk при i ? k рівні ймовірності ?ikdt попадання події, пов'язаного з цим переходом, в інтервал часу (T; t + dt) тривалістю dt. умовна ймовірність PHk(A) того, що процес, який перебував в момент часу t в стані SkВи з'явитесь у цьому стані і в момент часу t + dt, Буде дорівнює ймовірності того, що не відбудеться жодна з подій потоків, які переводять процес зі стану Sk в інші стани.

Таким чином,

перенісши pk(T) в ліву частину рівності і розділивши обидві його частини на dt, Отримаємо диференціальне рівняння першого порядку.

Міркуючи аналогічно для інших станів процесу, отримаємо систему диференціальних рівнянь Чепмена-Колмогорова для ймовірностей станів.

У цій системі одне з рівнянь є лінійною комбінацією інших. Тому з системи треба виключити одне з рівнянь (на практиці - найбільш громіздке) і доповнити її рівнянням нормування.

Імовірнісним потоком переходу зі стану Si в стан Sk в момент часу t називається величина ?ik pi(T).

Тоді для складання рівнянь Чепмена-Колмогорова можна використовувати наступне правило.

Похідна ймовірності стану дорівнює різниці імовірнісних потоків, що входять в вершину графа і виходять з неї, що відповідає цьому стану.

Для отримання рішення диференціальних рівнянь необхідно задати початкові умови, які є можливостями pi(0) станів в початковий момент часу t = 0.

Дозволивши рівняння Чепмена-Колмогорова, можна знайти все ймовірні характеристики досліджуваного випадкового процесу як функції часу.

На практиці найбільший інтерес часто є поведінка випадкового процесу в граничному режимі при t > ?.

Якщо існують межі ймовірностей  , Які не залежать від початкових умов pi(0) (i = 1, ..., n), то говорять, що випадковий процес має стаціонарний режим, Що характеризується стаціонарними (фінальними) можливостями pi.

Марковський процес з кінцевим числом станів має стаціонарний режим, якщо його орієнтований граф є сильно зв'язковим, тобто існує шлях з будь-якої його вершини в будь-яку іншу.

Стаціонарна (фінальна) ймовірність характеризує частку часу, яку проводить у відповідному стані випадковий процес в стаціонарному режимі.

Так як фінальні ймовірності постійні, то, беручи межа при t > ? від обох частин рівнянь Чепмена-Колмогорова, отримаємо, що похідні, які стоять в лівій їх частини, дорівнюють нулю. В результаті отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо фінальних ймовірностей.

.

Рівняння цієї системи можна скласти безпосередньо, користуючись наступним правилом (законом збереження).

Потоки фінальних ймовірностей, що входять в будь-який стан та виходять з нього, збігаються.

При складанні рівнянь для знаходження фінальних ймовірностей, можна використовувати наступне узагальнення вищенаведеного закону збереження.

Потоки фінальних ймовірностей, що входять в будь-який перетин графа станів і виходять з нього, збігаються.

Перетином орієнтованого графа називають лінію, яка проходить через безліч його дуг, після видалення яких орієнтований граф розпадається на незв'язні між собою підграфи. Перетину, для яких складаються рівняння, повинні перетинати всі дуги графа станів.

Знаючи фінальні ймовірності, можна визначити стаціонарні характеристики випадкового процесу: математичне сподівання, дисперсію і інші.

Приклад 7.2. Знайти стаціонарну вірогідність і стаціонарне математичне очікування для марковского процесу, заданого графом. Вважати, що перебуваючи в стані Si, Випадковий процес зберігає значення X (t) = i. Значення інтенсивностей переходу наведені в табл.5.

Таблиця 5.

Значення інтенсивностей переходу

?12 ?21 ?23 ?34 ?41 ?43

Складемо граф станів процесу, помістивши в їх вершини значення випадкового процесу, які він приймає в належному стані (див. Рис.7.3).

Мал. 7.3.

Складемо рівняння збереження потоків фінальних ймовірностей для перетинів I-III, показаних на рис. 7.3, і доповнимо їх умовою нормування.

?41 p4= ?23 p2

?34 p3= (?41 + ?43 ) p4

?12 p1= (?21 + ?23 ) p2

p1+ p2 + p3+ p4= 1

Підставляючи чисельні значення інтенсивностей переходу, отримаємо

p4= 2p2

p3= (1 + 2) p4

4 p1= (2 + 2) p2

p1+ p2 + p3+ p4= 1


Звідки

p4 = 2p2= 2p1

p3 = 3p4= 6p1

p2 = p1

p1 (1 + 1 + 6 + 2) = 1

З умови нормування отримуємо p1 = 0,1.

тоді

p2 = 0,1; p3 = 0,6; p4 = 0,2.

Математичне сподівання випадкового процесу в стаціонарному режимі постійно і дорівнює

 . ¦

література

1. Колмогоров А. Н. Основні поняття теорії ймовірностей. - М .: фазисами, 1998..

2. Кремер Н. Ш. Теорія ймовірностей і математична статистика. - М .: І, 2000..

3. Ковбаса Н. І., Іванівський В. Б. Теорія ймовірностей і математична статистика. - С.-Пб .: Альфа, 2001..


[1] Це класичне визначення вероятності.- Прим. авт.

[2] Ця формула часто використовується в якості визначення незалежних подій. - Прим. авт.

[3] Розподіл називається «біноміальним», оскільки Cnkpkq n-k можна розглядати як загальний член розкладання бінома Ньютона: (P + q)n= Cnnpn + Cnn-1pn-1q + ... + Cnkpkq n-k + ... + Cn0q n. Формально вважається, що Cn0= 1.

[4] Термін «нормальний розподіл» належить К. Пірсон. Раніше: гауссовское розподіл, розподіл Гаусса-Лапласа. - Прим. авт.

[5] Зауважимо, що в деяких таблицях наведені значення функції. - Прим. авт.

[6] Збіжність за ймовірністю. - Прим. авт.

[7] Номер елемента - це його місце в варіаційному ряду. - Прим. авт.

[8] Визначений у такий спосіб коефіцієнт кореляції носить ім'я Пірсона. Для деяких типів випадкових величин використовуються інші коефіцієнти кореляції, наприклад, коефіцієнти рангової кореляції Спірмена або Кендалла. - Прим. авт.

[9] У соціології такі таблиці називають таблицями спряженості ознак.

[10] При обчисленні можна використовувати Excel. - Прим. авт.



Попередня   33   34   35   36   37   38   39   40   41   42   43   44   45   46   47   48

Рішення | Математична статистика | Рішення | Перевірка статистичних гіпотез | теоретичні частоти | допоміжні обчислення | завдання 2 | Рішення. | Рішення | Елементи теорії випадкових процесів |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати