Головна

марковские процеси

  1. I Основні інформаційні процеси і їх реалізація за допомогою комп'ютерів
  2. I. Основні і допоміжні процеси
  3. Z1.2. КОМУНІКАТИВНІ ЯВИЩА І ПРОЦЕСИ В УПРАВЛІНСЬКОЇ ДІЯЛЬНОСТІ 437
  4. Автоколивальні БІОХІМІЧНІ ПРОЦЕСИ
  5. Адаптаційні процеси, обумовлені тренуванням з обтяженнями
  6. Активні електричні процеси
  7. Атрибутивні процеси. Фундаментальна помилка атрибуції.

Розглянемо види випадкових процесів, часто використовувані в різних дослідницьких і прикладних задачах.

Випадковий процес X (t) називається процесом з дискретними станами S1, S2, S3, ..., Якщо

в будь-який момент часу (за винятком рахункового числа моментів переходу зі стану в стан) випадковий процес знаходиться в одному і тільки в одному з станів S1, S2, S3, ...;

перехід з одного стану в інший стан відбувається миттєво (стрибком);

знаходження процесу в будь-якому з цих станів протягом якогось проміжку часу означає, що він приймає на цьому проміжку постійне, фіксоване для кожного з станів значення.

З даного визначення випливає, що безліч значень, які можуть приймати перетину процесу, звичайно або лічильно.

Випадковий процес X (t) називається марковским, Якщо для будь-якого моменту часу t0 імовірнісні характеристики процесу в майбутньому
 (T> t0) Залежать тільки від його стану в даний момент і не залежать від значень процесу в минулому (t 0), Тобто від того, коли і як процес прийшов в цей стан.

Приклад 7.1. Випадковий процес X (t), значення якого відповідають показниками лічильника таксі, є марковским. Дійсно, якщо в момент часу t0 на лічильнику була сума S0, То ймовірність того, що на лічильнику в момент часу t> t0 буде показана деяка сума S, не залежить від того, як змінювалися показання лічильника до моменту часу t0 . ¦

На практиці в ряді випадків передісторією розглянутих процесів нехтують і для простоти вважають їх марковскими.

потоком подій називається послідовність однорідних подій, наступних одне за іншим у випадкові моменти часу.

Потік подій можна описати випадковим процесом X (t) з дискретними станами S1, S2, S3, ..., Зафіксувавши деякий момент часу t0 і визначивши, що процес в момент часу t (t> t0) Знаходиться в стані Si і приймає значення X (t) = i, Якщо на інтервалі (t0; t) Відбулося рівно i подій описуваного потоку. Аналогічно можна описати випадковий процес при значеннях змінної t 0 .

Середнє число подій надходять в одиничний інтервал часу (частота появи подій) називається інтенсивністю потоку.

Потік подій називається потоком без післядії, Якщо число подій, що потрапляють в довільний інтервал часу ?1 не залежить від числа подій потрапляють на будь-який інший не перетинається з ним інтервал часу ?2.

Випадковий процес, що описує потік подій без післядії, є марковским.

Потік подій називається стаціонарним, якщо його імовірнісні характеристики не залежать від часу.

Інтенсивність стаціонарного потоку постійна і позначається ?.

Потік подій називається ординарним, якщо ймовірність попадання на елементарно малий інтервал часу dt двох і більше подій є нескінченно малою вищого порядку малості (нехтує мала) в порівнянні з ймовірністю попадання на цей інтервал одного події.

Потік подій називається найпростішим, якщо він стационарен, ординарний і не має післядії.

Широке використання найпростішого потоку в моделях випадкових процесів пояснюється наступною граничною теоремою.

Об'єднання (накладення) досить великого числа n незалежних стаціонарних і ординарних потоків з порівнянними интенсивностями ?i дає результуючий потік, який при n > ? прагне в імовірнісному сенсі до найпростішого потоку з інтенсивністю  . ¦

Об'єднання будь-якого числа найпростіших потоків утворює також найпростіший потік, інтенсивність якого дорівнює сумі інтенсивностей об'єднуються потоків. ¦

Зафіксуємо довільний інтервал часу тривалістю t. позначимо через X випадкову величину, рівну числу подій найпростішого потоку інтенсивності ?, Що потрапляють на цей інтервал. Можна довести, що випадкова величина X розподілена за законом Пуассона c параметром ?t, Тобто ймовірність того, що протягом інтервалу часу тривалістю t відбудеться m подій, дорівнює

.

Зокрема, ймовірність того, що за час t не відбудеться жодної події (M = 0) дорівнює

P0(T) = e- ?t.

Математичне сподівання числа подій, що потрапляють на інтервал часу довжиною t одно дисперсії цього числа MX = DX = ?t.

Знайдемо розподіл часу Т між двома довільними сусідніми подіями найпростішого потоку. Розглянемо інтервал часу тривалістю t, Початок якого збігається з часом здійснення якоїсь події потоку. тоді умова T?t означає, що на даному інтервалі тривалості t не відбулося жодної події найпростішого потоку. Така ймовірність умови, як показано вище, дорівнює

Pr (T?t) = P0(T) = e- ?t .

Тоді функція розподілу випадкової величини Т

F (t) = Pr (T - ?t .

Отже, час між двома довільними сусідніми подіями найпростішого потоку розподілено по експонентному закону з інтенсивністю ?. Математичне сподівання цього часу одно 1 / ?, А дисперсія - 1 / ?2.

Щільність розподілу цього часу задається формулою

f (t) = ? e- ?t .

Перемістимо точку початку відліку часу в момент здійснення однієї з подій найпростішого потоку. Тоді ймовірність того, що така подія потоку відбудеться в інтервалі (T; t + dt), буде дорівнює

Pr (t?T - ?t dt.

Цю ймовірність можна представити у вигляді добутку ймовірностей двох подій

Pr (t?T t?T (T - ?t · ? dt.

Таким чином ймовірність попадання події в будь-який інтервал
(T; t + dt) тривалістю dt не залежить від часу t, Що пройшов після попереднього події і складає ? dt, Що підтверджує стаціонарність найпростішого потоку.




Попередня   33   34   35   36   37   38   39   40   41   42   43   44   45   46   47   48   Наступна

граничні теореми | Рішення | Математична статистика | Рішення | Перевірка статистичних гіпотез | теоретичні частоти | допоміжні обчислення | завдання 2 | Рішення. | Рішення |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати