Головна |
Розглянемо види випадкових процесів, часто використовувані в різних дослідницьких і прикладних задачах.
Випадковий процес X (t) називається процесом з дискретними станами S1, S2, S3, ..., Якщо
в будь-який момент часу (за винятком рахункового числа моментів переходу зі стану в стан) випадковий процес знаходиться в одному і тільки в одному з станів S1, S2, S3, ...;
перехід з одного стану в інший стан відбувається миттєво (стрибком);
знаходження процесу в будь-якому з цих станів протягом якогось проміжку часу означає, що він приймає на цьому проміжку постійне, фіксоване для кожного з станів значення.
З даного визначення випливає, що безліч значень, які можуть приймати перетину процесу, звичайно або лічильно.
Випадковий процес X (t) називається марковским, Якщо для будь-якого моменту часу t0 імовірнісні характеристики процесу в майбутньому
(T> t0) Залежать тільки від його стану в даний момент і не залежать від значень процесу в минулому (t
Приклад 7.1. Випадковий процес X (t), значення якого відповідають показниками лічильника таксі, є марковским. Дійсно, якщо в момент часу t0 на лічильнику була сума S0, То ймовірність того, що на лічильнику в момент часу t> t0 буде показана деяка сума S, не залежить від того, як змінювалися показання лічильника до моменту часу t0 . ¦
На практиці в ряді випадків передісторією розглянутих процесів нехтують і для простоти вважають їх марковскими.
потоком подій називається послідовність однорідних подій, наступних одне за іншим у випадкові моменти часу.
Потік подій можна описати випадковим процесом X (t) з дискретними станами S1, S2, S3, ..., Зафіксувавши деякий момент часу t0 і визначивши, що процес в момент часу t (t> t0) Знаходиться в стані Si і приймає значення X (t) = i, Якщо на інтервалі (t0; t) Відбулося рівно i подій описуваного потоку. Аналогічно можна описати випадковий процес при значеннях змінної t
Середнє число подій надходять в одиничний інтервал часу (частота появи подій) називається інтенсивністю потоку.
Потік подій називається потоком без післядії, Якщо число подій, що потрапляють в довільний інтервал часу ?1 не залежить від числа подій потрапляють на будь-який інший не перетинається з ним інтервал часу ?2.
Випадковий процес, що описує потік подій без післядії, є марковским.
Потік подій називається стаціонарним, якщо його імовірнісні характеристики не залежать від часу.
Інтенсивність стаціонарного потоку постійна і позначається ?.
Потік подій називається ординарним, якщо ймовірність попадання на елементарно малий інтервал часу dt двох і більше подій є нескінченно малою вищого порядку малості (нехтує мала) в порівнянні з ймовірністю попадання на цей інтервал одного події.
Потік подій називається найпростішим, якщо він стационарен, ординарний і не має післядії.
Широке використання найпростішого потоку в моделях випадкових процесів пояснюється наступною граничною теоремою.
Об'єднання (накладення) досить великого числа n незалежних стаціонарних і ординарних потоків з порівнянними интенсивностями ?i дає результуючий потік, який при n > ? прагне в імовірнісному сенсі до найпростішого потоку з інтенсивністю . ¦
Об'єднання будь-якого числа найпростіших потоків утворює також найпростіший потік, інтенсивність якого дорівнює сумі інтенсивностей об'єднуються потоків. ¦
Зафіксуємо довільний інтервал часу тривалістю t. позначимо через X випадкову величину, рівну числу подій найпростішого потоку інтенсивності ?, Що потрапляють на цей інтервал. Можна довести, що випадкова величина X розподілена за законом Пуассона c параметром ?t, Тобто ймовірність того, що протягом інтервалу часу тривалістю t відбудеться m подій, дорівнює
.
Зокрема, ймовірність того, що за час t не відбудеться жодної події (M = 0) дорівнює
P0(T) = e- ?t.
Математичне сподівання числа подій, що потрапляють на інтервал часу довжиною t одно дисперсії цього числа MX = DX = ?t.
Знайдемо розподіл часу Т між двома довільними сусідніми подіями найпростішого потоку. Розглянемо інтервал часу тривалістю t, Початок якого збігається з часом здійснення якоїсь події потоку. тоді умова T?t означає, що на даному інтервалі тривалості t не відбулося жодної події найпростішого потоку. Така ймовірність умови, як показано вище, дорівнює
Pr (T?t) = P0(T) = e- ?t .
Тоді функція розподілу випадкової величини Т
F (t) = Pr (T
Отже, час між двома довільними сусідніми подіями найпростішого потоку розподілено по експонентному закону з інтенсивністю ?. Математичне сподівання цього часу одно 1 / ?, А дисперсія - 1 / ?2.
Щільність розподілу цього часу задається формулою
f (t) = ? e- ?t .
Перемістимо точку початку відліку часу в момент здійснення однієї з подій найпростішого потоку. Тоді ймовірність того, що така подія потоку відбудеться в інтервалі (T; t + dt), буде дорівнює
Pr (t?T
Цю ймовірність можна представити у вигляді добутку ймовірностей двох подій
Pr (t?T
Таким чином ймовірність попадання події в будь-який інтервал
(T; t + dt) тривалістю dt не залежить від часу t, Що пройшов після попереднього події і складає ? dt, Що підтверджує стаціонарність найпростішого потоку.
граничні теореми | Рішення | Математична статистика | Рішення | Перевірка статистичних гіпотез | теоретичні частоти | допоміжні обчислення | завдання 2 | Рішення. | Рішення |