Головна

граничні теореми

  1. ГЛАВА 6. ненасичені вуглеводні (алкени)
  2. Незазначені граничні відхилення розмірів
  3. Загальні теореми динаміки точки
  4. Загальні теореми динаміки.
  5. Загальні, середні і граничні величини виручки і витрат
  6. Основні теореми диференціального числення та їх застосування
  7. Основні теореми про границі

Граничні теореми - це збірна назва для цілого класу теорем, що описують закономірності, які виникають в результаті сумарної дії випадкових величин. В цьому класі можна виділити дві групи.

Теореми першої групи називають законом великих чисел. Прикладом дії цього закону є зближення частоти настання випадкової події з його ймовірністю при зростанні числа випробувань.

Теорема Бернуллі: Якщо в кожному з n незалежних випробувань ймовірність Р появи події А постійна, то як завгодно близька до одиниці ймовірність того, що відхилення відносної частоти від ймовірності Р по абсолютній величині буде як завгодно малим, якщо число випробувань досить веліко.n

Інакше, якщо e - як завгодно мале позитивне число, то при дотриманні умов теореми має місце рівність:

 . [6]

Пізніше були отримані різні узагальнення цієї теореми.

Теореми другої групи встановлюють умови, при яких сукупна дія випадкових величин приводить до нормального закону розподілу. На практиці часто використовуються локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа, що дають асимптотические формули для обчислення ймовірностей в разі схеми випробувань Бернуллі (див. Біноміальний розподіл).

Формула Бернуллі дозволяє обчислити вірогідність того, що подія з'явиться в n випробуваннях рівно k раз. Однак при великих значеннях n обчислення стають настільки громіздкими, що застосування формули стає вельми скрутним. Обійти ці труднощі дозволяє локальна теорема Муавра-Лапласа, що дає асимптотичну формулу для наближеного знаходження ймовірності появи події рівно k раз в n випробуваннях, якщо число випробувань n досить велике. (Зауважимо, що на відміну від формули Пуассона ця теорема не вимагає виконання умови np = const).

Локальна теорема Лапласа (Муавра-Лапласа): якщо ймовірність p появи події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля і одиниці, то ймовірність Pn(K) того, що подія А з'явиться в n випробуваннях рівно k раз, приблизно дорівнює

,

де , q = 1-p. n

для позитивних х є таблиці значень функції . для негативних х використовують ті ж таблиці, оскільки функція j (х) парна.

Припустимо, що мають місце умови попередньої теореми. обчислити ймовірність Pn(k1, k2) того, що подія А відбудеться в n випробуваннях не менше k1 раз і не більше k2 раз допомагає інтегральна теорема Муавра-Лапласа.

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа:якщо ймовірність p появи події А в кожному випробуванні постійна і відмінна від нуля і одиниці, то ймовірність Pn(k1, k2) того, що подія А з'явиться в n випробуваннях не менше k1 раз і не більше k2 раз, приблизно дорівнює

,де ,  .n

На практиці для обчислення шуканої ймовірності використовують таблиці функції Лапласа  . При цьому Pn(k1, k2) зручно представити як .

слідство:Якщо ймовірність p настання події A в кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то при досить великому числі n незалежних випробувань має місце наступне:

А) ймовірність того, що число m наступів події A відрізняється від твору np не більше, ніж на величину  (По абсолютній величині), можна оцінити як

Б) ймовірність того, що відносна частота  події A укладена в межах від a до b можна оцінити як

,

де , .

Приклад 5.14.

У 25 пачках печива з 400 були виявлені призові купони. На скільки призових купонів в 1000 пачок можна розраховувати з ймовірністю 0,95?




Попередня   29   30   31   32   33   34   35   36   37   38   39   40   41   42   43   44   Наступна

Рішення | Математичне очікування | дисперсія | Рівномірний розподіл | Біноміальний розподіл (розподіл Бернуллі) | розподіл Пуассона | Показовий (експоненційний) розподіл | Нормальний закон розподілу | Розподіл хі-квадрат | розподіл Стьюдента |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати