Головна |
Якщо функціональні ряди и рівномірно сходяться на безлічі Х, а l і m - довільні числа, то ряд
також рівномірно сходиться на Х. n
Якщо функціональний ряд , Складений з безперервних на безлічі Х функцій fn(X), N = 1, 2, ..., рівномірно сходиться на Х, то його сума неперервна на Х, т. е. для будь-якої точки х0 I Х можливий почленно перехід до межі:
n
Якщо члени функціонального ряду інтегровними за Ріманом на відрізку [a, b], а сам ряд рівномірно сходиться на [a, b], то його сума також інтегрована за Ріманом на [a, b] і для будь-якого х I [A, b] має місце рівність
,
причому ряд, що стоїть в правій частині рівності, сходиться рівномірно на [a, b]. Іншими словами, рівномірно сходиться на [a, b] ряд можна інтегрувати почленно. n
Якщо члени функціонального ряду безперервно діфференцируєми на відрізку [a, b], сам ряд сходиться в певній точці цього відрізка, а функціональний ряд, складений з похідних f 'n(X), n = 1, 2, ..., тобто рівномірно сходиться на відрізку [a, b], то вихідний ряд також рівномірно сходиться на [a, b], а його сума неперервно диференційовна на відрізку [a, b] і
,
тобто вихідний функціональний ряд можна диференціювати почленно. n
Таким чином, наявність властивості рівномірної збіжності у рядів дозволяє перенести на ці ряди деякі правила дії з кінцевими сумами - можливість почленно інтегрувати і диференціювати.
БЕЗПЕРЕРВНІСТЬ | ПОХІДНА | Екстремум функції ОДНІЄЇ ЗМІННОЮ | ПРИВАТНІ ПОХІДНІ | НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ | ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ | невласні інтеграли | Інтеграли від функцій з особливими точками. | кратним інтеграли | ЧИСЛОВІ РЯДИ |