Головна

кратним інтеграли

  1. IV.1. Одноразові ітераційні цикли
  2. Завдання 13. Обчислити певні інтеграли.
  3. Завдання I2. Обчислити невизначені інтеграли. У пунктах а), б), ж) і з) результати перевірити диференціюванням.
  4. Інтеграли від функцій з особливими точками.
  5. невласні інтеграли
  6. невласні інтеграли

Природним узагальненням поняття певного інтеграла Рімана на випадок функції декількох змінних є поняття кратного інтеграла. Для випадку двох змінних такі інтеграли називають подвійними.

Розглянемо в двовимірному евклідовому просторі R 'R, Тобто на площині з декартовой системою координат, безліч Е кінцевої площі S.

 позначимо через (i = 1, ..., k) розбиття множини Е, Тобто таку систему його підмножин Ei , I = 1 ,. . ., k, що  O при i ? j і  (Рис. 2.5). тут через  позначено підмножина Ei без його межі, тобто внутрішні точки підмножини Ei, Які разом з його кордоном гр Ei утворюють замкнутий підмножина Ei,  . Ясно, що площа S(Ei) підмножини Ei збігається з площею його внутрішньої частини  , Оскільки площа кордону ГрEi дорівнює нулю.

Через d (Ei) позначимо діаметр безлічі Ei, Тобто максимальна відстань між двома його точками. Величину l (t) =  d (Ei) назвемо дрібністю розбиття t. Якщо функція f (x), x = (x, y), визначена на E як функція двох аргументів, то будь-яку суму виду

 , xi I Ei , I = 1,. . . , K, xi = (Xi, yi),

залежну як від функції f і розбиття t, так і від вибору точок xi I Ei I t, називають інтегральної сумою функції f .

Якщо для функції f існує  , Що не залежить ні від розбиття t, ні від вибору точок  (I = 1, ..., k), то ця межа називається подвійним інтегралом Рімана від f (x, y) і позначається

.

Саму функцію f називають в цьому випадку интегрируемой за Ріманом.

Нагадаємо, що в разі функції одного аргументу як безлічі Е, По якому виробляється інтегрування, зазвичай береться відрізок [A, b] , А в якості його розбиття t розглядається розбиття, що складається з відрізків. В іншому, як неважко переконатися, визначення подвійного інтеграла Рімана повторює визначення певного інтеграла Рімана для функції одного аргументу.

Подвійний інтеграл Рімана від обмежених функцій двох змінних має звичайними властивостями певного інтеграла для функцій одного аргументу - лінійністю, аддитивностью щодо множин, за якими проводиться інтегрування, збереження при інтегруванні нестрогих нерівностей, інтегрованість твори інтегрованих функцій і т.п.

Обчислення кратних інтегралів Рімана зводиться до обчислення повторних інтегралів. Розглянемо випадок подвійного інтеграла Рімана. нехай функція f (x, y) визначена на безлічі Е, що лежить в декартовом творі множин X 'Y, E I X' Y.

повторним інтегралом від функції f (x, y) називається інтеграл, в якому послідовно виконується інтегрування за різними змінним, тобто інтеграл виду

.

Безліч E (y) = {x: I E} I X називається перетином безлічі E, відповідним заданому y, y I Ey; безліч Ey називається - проекцією безлічі E на вісь Y.

Для повторного інтеграла використовують також таке позначення:

,

яке, як і колишнє, означає, що спочатку при фіксованому y, y I Ey, проводиться інтегрування функції f (x, y) по x по відрізку E(y), Що є перетином безлічі Е, Відповідним цьому y. В результаті внутрішній інтеграл визначає деяку функцію однієї змінної - y. Ця функція інтегрується потім як функція однієї змінної, на що вказує символ зовнішнього інтеграла.

При зміні порядку інтегрування виходить повторний інтеграл виду

де внутрішнє інтегрування проводиться по y, а зовнішнє - по x. Як співвідноситься цей повторний інтеграл з повторним інтегралом, визначеним вище?

Якщо існує подвійний інтеграл від функції f, Тобто

,

то існують і обидва повторних інтеграла, причому вони однакові за величиною і рівні подвійному, тобто

 n.

Підкреслимо, що сформульоване в цьому твердженні умова можливості зміни порядку інтегрування в повторних інтеграли є лише достатнім, Але не необхідним.

Інші достатні умови можливості зміни порядку інтегрування в повторних інтеграли формулюються наступним чином:

якщо існує хоча б один з інтегралів

 або ,

то функція f (x, y) інтегрована за Ріманом на безлічі Е, Обидва повітряних інтеграла від неї існують і рівні подвійному інтегралу. n

Конкретизуємо записи проекцій і перетинів в позначеннях повторних інтегралів.


Якщо безліч Е є прямокутником

,

то Ex = {X: a ? x ? b}, Ey = {Y: c ? y ? d}; при цьому E (y) = Ex для будь-якого y, y I Ey., а E (x) = Ey для будь-якого x, X I Ex..

Формальна запис: "y y I Ey ? E (y) = Ex U "x x I Ex ? E (x) = Ey

 В цьому випадку повторні інтеграли записуються так:

.

Якщо безліч Е має криволинейную кордон і допускає подання

 або

,

то , ,

а , .

В цьому випадку повторні інтеграли записуються так:

.

Приклад 2.13.

Обчислити подвійний інтеграл по прямокутної області, звівши його до повторного .

Оскільки виконується умова sin2(X + y) = | sin2 (X + y) |, то перевірку здійсненності достатніх умов існування подвійного інтеграла I в формі існування будь-якого з повторних інтегралів

 або

тут проводити спеціально не слід і можна відразу переходити до обчислення повторного інтеграла

.

Якщо він існує, то існує і подвійний інтеграл, причому I = I1. оскільки

 , то

.

Отже, I =  .n

Приклад 2.14.

Обчислити подвійний інтеграл по трикутної області (див. Рис. 2.6), звівши його до повторного

 , Гр (E) = {: x = 0, y = 0, x + y = 2}.

Спочатку переконаємося в існуванні подвійного інтеграла I. Для цього достатньо переконатися в існуванні повторного інтеграла

.

маємо

,

тобто підінтегральної функції безупинні на відрізках інтегрування, оскільки всі вони статечні. Отже, інтеграл I1 існує. В цьому випадку подвійний інтеграл теж існує і дорівнює кожному повторному, тобто

 
 

 .n

Приклад 2.15.

Для кращого розуміння зв'язку між поняттями подвійного і повторних інтегралів розглянемо наступний приклад, який при першому читанні може бути опущений. Задана функція двох змінних f (x, y)

Відзначимо, що ця функція при фіксованому х непарна по y, а при фіксованому y - непарна по x. Як безлічі Е, за яким інтегрується ця функція, візьмемо квадрат E = {: -1 ? x ? 1, -1 ? y ? 1}.

Спочатку розглянемо повторний інтеграл

.

внутрішній інтеграл

береться при фіксованому y, -1 ? y ? 1. Оскільки підінтегральна функція при фіксованому y непарна по x, а інтегрування по цій змінній здійснюється по відрізку [-1, 1], симетричного відносно точки 0, то внутрішній інтеграл дорівнює 0. Очевидно, що зовнішній інтеграл за змінною y від нульової функції також дорівнює 0, тобто

.

Аналогічні міркування для другого повторного інтеграла призводять до того ж результату:

.

Отже, для даної функції f (x, y) повторні інтеграли існують і рівні один одному. Однак подвійний інтеграл від функції f (x, y) не існує. Щоб переконатися в цьому, звернемося до геометричного змістом обчислення повторних інтегралів.

Для обчислення повторного інтеграла

використовується розбиття квадрата Е спеціального виду, так само як і спеціальним чином проводиться підрахунок інтегральних сум. Саме, квадрат Е розбивається на горизонтальні смуги, (див. Рис.2.7), а кожна смуга - на маленькі прямокутники. Кожна смужка відповідає деякому значенню змінної y; наприклад, це може бути ордината горизонтальній осі смуги.

 
 

Підрахунок інтегральних сум проводиться так: спочатку підраховується суми для кожної смуги в окремо, тобто при фіксованому y для різних x, а потім ці проміжні суми підсумовуються для різних смуг, тобто для різних y. Якщо мелкость розбиття спрямувати до нуля, то в межі ми отримаємо вказаний вище повторний інтеграл.

Ясно, що для другого повторного інтеграла

безліч Е розбивається вертикальними смугами, відповідними різним x. Проміжні суми підраховуються всередині кожної смуги по маленьким прямокутникам, тобто по y, а потім вони підсумовуються для різних смуг, тобто по х. У межі, при дрібноту розбиття, що прагне до нуля, отримуємо відповідний повторний інтеграл.

Щоб довести, що подвійний інтеграл не існує, досить привести один приклад розбиття, розрахунок інтегральних сум за яким в межі при дрібноту розбиття, що прагне до нуля, дає результат, відмінний від значення повторних інтегралів. Наведемо приклад такого розбиття, відповідного полярній системі координат (r, j) (див. Рис. 2.8).

В полярній системі координат положення будь-якої точки на площині М0 (x0, y0), Де x0 , y0 - Декартові координати точки М0 - Визначається довжиною r0 радіусу, що з'єднує її з початком координат і кутом j0 , Утвореним цим радіусом з позитивним напрямком осі x (кут відраховується проти годинникової стрілки). Зв'язок між декартовими та полярними координатами очевидна:

,

y0 = r0 ? sinj0.


Розбиття будується наступним чином. Спочатку квадрат Е розбивається на сектори радіусами, що виходять з центру координат, а потім кожен сектор - на маленькі трапеції лініями, перпендикулярними осі сектора. Підрахунок інтегральних сум проводиться так: спочатку по маленьким трапеціям всередині кожного сектора вздовж його осі (по r), а потім - по всіх секторах (по j). Положення кожного сектора характеризується кутом його осі j, а довжина його осі r (j) залежить від цього кута:

якщо  або  , то ;

якщо  , то ;

якщо  , то

якщо  , то .

Переходячи до межі інтегральних сум полярного розбиття при дрібноту розбиття, що прагне до нуля, отримаємо запис подвійного інтеграла в полярних координатах. Такий запис можна отримати і чисто формальним чином, замінюючи декартові координати (x, y) на полярні (r, j).

За правилами переходу в інтеграли від декартових координат до полярних слід писати, за визначенням:

.

У полярних координатах функція f (x, y) запишеться так:

.

остаточно маємо

.

Внутрішній інтеграл (невласний) в останній формулі

,

де функція r (j) вказана вище, 0 ? j ? 2p, дорівнює + ? для будь-якого j, бо

,

а .

Отже, підінтегральна функція в зовнішньому інтегралі, обчислюваному по j, не визначена ні для якого j. Але тоді не визначений і сам зовнішній інтеграл, тобто не визначений вихідний подвійний інтеграл.

Відзначимо, що для функції f (x, y) не виконано достатня умова існування подвійного інтеграла по безлічі Е. Покажемо, що інтеграл

не існує. дійсно,

.

Аналогічно встановлюється такий же результат для інтеграла

n

ЛАВ

Нехай задана числова послідовність {an}, N = 1, 2, ...

числовим рядом називається вираз, що отримується за допомогою формального підсумовування елементів заданої числової послідовності {an}, Тобто вираз виду

a1 + a2 + ... + An + ...

Числовий ряд позначається як  . Елементи заданій послідовності an , N = 1, 2, ..., називаються при цьому членами ряду, А суми перших членів ряду sn = a1 + a2 + ... + An, N = 1, 2, ... - частковими сумами ряду порядку n.

Приклад 3.1.

Приклади числових рядів:

1)  - Гармонійний ряд;

2)  - Нескінченна геометрична прогресія;

3)  - Розкладання в ряд числа e n

Якщо у визначенні числового ряду замінити числову послідовність {an} на послідовність дійсних функцій {fn(X)}, визначених на одному і тому ж безлічі Х ', x IX', що є деяким підмножиною множини дійсних чисел, то приходимо до поняття функціонального ряду.


функціональним рядом називається вираз, що отримується за допомогою формального підсумовування елементів заданої послідовності дійсних функцій {fn(X)}, визначених на одному і тому ж безлічі Х ', x IX', тобто вираз

f1(X) + f2(X) + ... + fn(X) + ...

Функціональний ряд позначається як  . Задані функції fn(X), n = 1, 2, ..., називаються членами ряду, А суми перших членів ряду sn(X) = f1(X) + f2(X) + ... + fn(X), n = 1, 2, ... - частковими сумами ряду порядку n.



Попередня   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   Наступна

Вступ | ДІЙСНІ ФУНКЦІЇ | БЕЗПЕРЕРВНІСТЬ | ПОХІДНА | Екстремум функції ОДНІЄЇ ЗМІННОЮ | ПРИВАТНІ ПОХІДНІ | НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ | ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ | невласні інтеграли | ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати