Головна

ПРИВАТНІ ПОХІДНІ

  1. Any і його похідні мають інше значення в позитивному реченні.
  2. Авторське право на похідні твори
  3. Бензол і його похідні
  4. Біржі праці та приватні посередницькі фірми
  5. Залежно від форм власності на капітал розрізняють приватні та державні підприємства (фірми).
  6. Віртуальні приватні мережі
  7. Питання. Суть міжнародної біржової торгівлі, публічні та приватні біржі

Будемо припускати, що дійсна функція двох змінних f: X 'Y® Z задана в деякій околиці точки (x0, y0). надамо змінної х довільне збільшення Dх, залишаючи значення другого аргументу фіксованим, y = y0 . Відповідне приріст функції позначимо через Dхz,

Dxz = f (x0 + Dx, y0) - F (x0, y0).

Аналогічним чином можна побудувати приріст функції по змінній y при фіксованому значенні х = х0:

Dyz = f (x0 , y0 +Dy) - F (x0, y0).

Якщо існує межа  , То він називається приватної похідноюфункції f (x, y) = z в точці (х0, y0) По змінній х (відповідно, y)

Приватна похідна по x (y) позначається так:

.

З визначення похідної випливає, що при її обчисленні, скажімо, по змінної х входження в формулу функції f (x, y) змінної y слід розглядати як деяку константу, Тобто диференціювати функцію f (x, y) як функцію однією змінної х. Аналогічно при обчисленні приватної похідною по змінної y змінну х слід розглядати як константу.

Приклад 1.11.

1)

2) n

Проілюструємо геометричний сенс приватних похідних. З цією метою розглянемо рівняння F (x, y) = 0 , За допомогою якого задаються криві на площині "X, y", Вид яких залежить від виду функції F (x, y). Наприклад, формула x2 + y2 -1 = 0, F (x, y) = x2 + y2 -1, задає окружність одиничного радіуса з центром в початку координат; рівняння прямої має вигляд ax + by + c = 0 і т.д.

Двовимірний вектор NF з координатами  називається градієнтомфункцііF; Значення одеського форуму точці (x0, y0) Визначається через обчислення значень обох приватних похідних F 'x, F 'y, Тобто F 'x(x0,, y0), F 'y(x0, y0). Оскільки компоненти вектора NF є функціями, то градієнт називається вектор - функцією двох змінних і записується як NF (x, y) = (F 'x(X, y), F 'y(X, y)).

Геометрично вектор NF (x0, y0) задає напрямок нормаліккрівой F (x, y) = 0 в точці M0(x0, y0), Тобто напрямок, перпендикулярний до дотичної в цій точці (див. ріс.1.14.).

рівняння нормалідо кривої F (x, y) = 0 в точці M0(x0, y0) задається з міркувань, що вектор, що починається в точці M0(x0, y0) і закінчується в довільній точці M (x, y) нормалі, тобто вектор М0М, виходить множенням градіентаNF (x0, y0), на довільне число k:

M0M = k ? NF (x0, y0).

Звідси (якщо F 'x(x0, y0) ? 0 и F 'y(x0, y0) ? 0) можна записати в координатної формі

,

або, звільняючись від k, Отримуємо остаточний вид рівняння нормалі

, , .

Якщо ж  , а  , То рівняння нормалі має вигляд х = х0, тобто нормаль паралельна осі ординат; при и  рівняння нормалі має вигляд y = y0, Тобто нормаль паралельна осі абсцис. Точки, в яких NF (x0,y0) = 0, називаються особливими; в них нормаль до кривої F (x, y) = 0 не визначена.

Рівняння дотичної до кривої F (x, y) = 0 в неособо точці M0 (x0, y0), т. Е. Точці, для якої NF (x0, y0) ? 0, виводиться з міркувань, що вектор, що починається в точці M0 (x0, y0) і закінчується в довільній точці N (x, y) дотичній, тобто вектор M0N (Див. Рис. 1.14.) Перпендикулярний вектору NF (x0,y0), тобто їх скалярний добуток дорівнює 0:

(NF (x0,y0), M0N) = 0.

У координатної формі отримуємо рівняння дотичної у вигляді

F 'x(x0, y0) ? (x - x0) + F 'y (x0, y0) ? (y - y0) = 0.

Розглянемо окремий випадок, коли крива задана в формі, дозволеній щодо y, тобто y = f (x). Формально можна написати, що

f (x) -y = 0, тобто F (x, y) = f (x) - y.

Звідси F 'x = F '(x), F'y = -1 І рівняння нормалі набуде вигляду

,

а рівняння дотичної прийме такий вигляд:

f '(x0) ? (x - x0) + (Y0 - Y) = 0.

Приклад 1.12.

Випишемо рівняння дотичній і нормалі до наступних кривим на площині.

1) xy - y5 - 5 = 0 в точці (x0 = 6, y0 = 1); це приклад загального випадку F (x, y) = 0. Маємо: F 'x = Y, F 'y = X - 5y4 ; F 'x(x0, y0) = 1, F 'y(x0, y0) = 6 - 5 = 1.

Рівняння нормалі:  або y = х - 5.

Рівняння дотичної: 1 ? (x-6) + 1 ? (y - 1) = 0 або y = х + 7.

2) y = sinx в точці (x0 = P, y0 = 0). Це приклад окремого випадку y = f (x).

Маємо: f '(x) = cosx; f '(x0) = - 1.

Рівняння нормалі:  або y = х - p.

Рівняння дотичної: (-1) (x-p) + (0 - y) = 0 або y = х + p

На рис. 1.15. зображені дотична і нормаль до графіка функції y (x) = sin x в точці (p, 0) n



1.9. Екстремум функції КІЛЬКОХ
 ЗМІННИХ

Екстремум функції кількох зміннихвизначається аналогічно екстремуму функції однієї змінної, тобто це або її найбільше значення - максимум, чи менше - мінімум.

Точка (x0, y0) Називається точкою локального екстремуму(Максимуму або мінімуму) для функції f (x, y), якщо існує така d-околиця точки (х0, y0), Тобто безліч {(x, y):  , D> 0}, для якої значення функції f (x0, y0) Є екстремальним (максимальним або мінімальним), тобто f (x0, y0) ? f (x, y) (f (x0, y0) ? f (x, y)) для всіх точок (x, y) з d - околиці.

Необхідна умова локального екстремумуфункції f (x, y) в точці (x0, y0) Полягає в рівності нулю її приватних похідних в цій точці, тобто f 'x(x0, y0) = F 'y(x0, y0) = 0.n

Певний вище локальний екстремум іноді називають безумовним екстремумівна відміну від екстремуму умовного.

умовним екстремумівзаданої функції f декількох змінних називають максимальне або мінімальне її значення, що досягається за умови, що на її змінні накладено деякі обмеження, що задаються, як правило, в функціональній формі. Найпростішим прикладом задач на умовний екстремум є завдання лінійного програмування, розглянута в розділі 6 першій частині посібника. У задачі лінійного програмування умовний екстремум лінійної функції шукається для обмежень, заданих у формі лінійних нерівностей.

Тут ми розглянемо нелінійну задачу на умовний екстремум,решаемую методом множників Лагранжа.Для визначеності обмежимося випадком функцій двох змінних. Потрібно знайти максимум (мінімум) функції f (x, y) при обмеженні g (x, y) = b. Геометрично це завдання означає наступне (ріс.1.16). На підмножині множини визначення функції f (x, y), Який визначається як {: g (x, y) = b}, тобто на кривій g (x, y) = b в площині "x, y", Знайти точки екстремумів цієї функції. У нашому прикладі таких екстремальних точок дві. Одна з них - точка А - відповідає максимальному значенню М функції f (x, y) на контурі s, інша - точка B - відповідає мінімальному значенню m цієї функції на контурі s. Контур s виділяється на графіку S функції f (x, y) як образ кривої, яка визначається рівнянням g (x, y) = b, щодо відображення f.


 
 

Точки А і В шукаються в такий спосіб. складається функція Лагранжау вигляді

L (x, y, l) = f (x, y) + l ? [b - g (x, y)],

де l - так званий множник Лагранжа,деяке дійсне число, яке підлягає визначенню.

Для функції трьох змінних L (x, y, l) виписуються необхідні умовиіснування локального безумовного екстремуму

,

,

.

З цієї системи трьох рівнянь для трьох невідомих визначаються точки (x*, y*, l*), Які претендують на те, щоб бути точками умовного екстремуму функції f (x, y) при обмеженні g (x, y) = b. Характер екстремальності (максимум або мінімум) визначається прямий перевіркою - розрахунком значень вихідної функції f (x, y) в екстремальних точках. Якщо екстремальна точка одна, то значення функції f (x, y) в ній порівнюється зі значенням функції в будь-який інший допустимої точці.

Приклад 1.13.

1) Знайти умовні екстремуми функції f (x, y) = (x + 0,5)2 + (Y + 0,5)2 при обмеженні g (x, y) = x2 + y2 = 1.

Будемо вирішувати задачу методом множників Лагранжа.

Функція Лагранжа має вигляд L (x, y, l) = (x + 0.5)2 + (Y + 0.5)2 + L (1 - x2 - y2), Необхідні умови екстремуму для неї запишуться як

,

,

.

З перших двох умов отримуємо  ; підставляючи в третє рівняння, маємо  , Тобто , .

Остаточно отримуємо дві умовні екстремальні точки:

, ;

, .

Оскільки f (x1, y1)> F (x2, y2), То A = (x1, y1) - Точка умовного максимуму, причому M = f (x1, y1) = 1.5 +  , А B = (x2, y2) - Точка умовного мінімуму, причому m = f (x2, y2) = 1.5 - .

2) Знайти умовний екстремум тієї ж самої функції f (x, y), що і в попередньому прикладі, але при обмеженні g (x, y) = 2y - x = 1.

Вирішимо цю задачу методом множників Лагранжа. Функція Лагранжа має вигляд L (x, y, l) = (x + 0.5)2 + (Y + 0.5)2 + L (1 - 2y + x), необхідні умови екстремуму для неї дають систему трьох рівнянь:

З перших двох рівнянь отримуємо ,  підставляючи ці вирази в третє рівняння, маємо 1 - 2l + 1 - 0.5 -  = 0, звідки l = 0.6 - єдине рішення. Остаточно отримуємо єдину умовну екстремальну точку:

x0 = - 0.3 - 0.5 = - 0.8,

y0 = - 0.5 + 0.6 = 0.1;

f (x0, y0) = (0.1 + 0.5)2 + (-0.8 + 0.5)2 = 0.36 + 0.09 = 0.45.

Щоб переконатися, що точка В (-0.8, 0.1) є точкою умовного мінімуму функції f (x, y) при обмеженні 2y -x = 1, візьмемо будь-яку точку на цій прямій, наприклад, точку (-1, 0). Обчислимо f (-1, 0) = (0.5)2 + (-1 + 0.5)2 = 0.5, що більше, ніж f (x0, y0). Отже, точка умовного екстремуму В (- 0.8, 0.1) є точкою умовного мінімуму. n

 



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Вступ | ДІЙСНІ ФУНКЦІЇ | БЕЗПЕРЕРВНІСТЬ | ПОХІДНА | ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ | невласні інтеграли | Інтеграли від функцій з особливими точками. | кратним інтеграли | ЧИСЛОВІ РЯДИ | ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати