загрузка...
загрузка...
На головну

Екстремум функції ОДНІЄЇ ЗМІННОЮ

  1. HTML це "рідна мова" вашого браузера (програми перегляду веб-сторінок).
  2. II. ФУНКЦІЇ
  3. II. функції
  4. II. ФУНКЦІЇ
  5. II. функції ІТС
  6. II. ФУНКЦІЇ ЦУП
  7. III. ПІДГОТОВКА БОЕВОЙ МАШИНИ ДО ПОДОЛАННЯ ВОДНОЇ

Кажуть, що точка х0 є точкою суворого локального максимуму (мінімуму)заданої функції f (x), якщо існує така d - околиця точки х0, що для будь-якої точки х з цієї d - околиці, х ? х0, виконується умова f (x) 0) (F (x)> f (x0)). При заміні знака <на ? виходить визначення для несуворого локального максимуму (мінімуму).

У цьому розділі для стислості будемо писати просто «максимум (мінімум) функції», маючи на увазі локальний максимум (локальний мінімум) функції.

Максимум або мінімум функції називають збірним терміном екстремумфункції.

Приклад 1.8.

1) Функція  має в точці х0 = 0 строгий локальний максимум, але локальних мінімумів вона не має.

2) Функція f (x) = sin x має в точках  , K = 0, ± 1, ± 2, ?, строгі локальні максимуми рівні 1, а в точках  , K = 0,, ± 1, ± 2, ? - строгі локальні мінімуми, рівні -1.n

Теорема Ферма (необхідна умова екстремуму (суворого і несуворого) диференціюється).Якщо дійсна функція f (x) визначена в околі точки х0, диференційована в цій точці і має в ній екстремум, то її перша похідна в точці х0 дорівнює 0: f '(x0) = 0n

Достатня умова суворого екстремуму диференційованої функції. Якщо дійсна функція f (x) визначена в околі точки х0, Двічі диференційована в цій точці і має в ній нульову першу похідну f'(x0) = 0, а також негативну (позитивну) другу похідну f "(x0) <0 (f "(x0)> 0), то функція f (x) досягає в х0 свого суворого максимуму (мінімуму) n

Для геометричної інтерпретації умов існування екстремуму диференційованої функції корисним виявляється поняття опуклості графіка цієї функції і його зв'язок зі знаком другої похідної.

Графік функції f (x) називається опуклим вгору (вниз)на інтервалі (a, b), якщо він цілком розташований не вище (не нижче) будь дотичній до нього на інтервалі (a, b). Якщо, крім того, графік має трохи більше однієї загальної точки з будь дотичній до нього на інтервалі (a, b), то він називається строго опуклим.

Якщо графік двічі диференціюється f (x) строго опуклий вгору (вниз) на інтервалі (a, b), то f "(x) <0 (f" (x)> 0) на цьому інтервалі; вірно і обратноеn

Тепер проілюструємо умови існування строгих екстремумів.

Нехай дійсна функція f (х) має в точці х0 строгий локальний максимум, двічі диференційована в деякому околі точки х0 і має строго опуклий вгору графік (див. рис. 1.6). оскільки f(x0) є найбільшим значенням функції в цій околиці, то по теоремі Ферма в точці х0 f '(x0) = 0 і дотична в ній горизонтальна. В силу суворої опуклості графіка перша похідна в точках х1, х2 повинна бути позитивна, а в точках х3 і х4 повинна бути негативна. Більш того, перша похідна повинна монотонно спадати в цій околиці, тобто  , оскільки  , а  . Саме тому друга похідна функції f (х), Яка має сенс швидкості зміни першої похідної, повинна бути в цій околиці негативною, тобто  . Зокрема, f "(x0) <0.

Ілюстрація для випадку строгого локального мінімуму представлена ??на рис. 1.7. Міркування, аналогічні попередньому випадку, приводять нас до висновку, що перша похідна повинна строго зростати, тобто tg a1 2 <0, а 0 1 2, Приймаючи нульове значення в точці х0, F '(x0) = 0.

 Тому друга похідна функції f повинна бути в околиці точки х0 позитивної,  . Зокрема, f "(x0)> 0.

На рис. 1.8 зображений випадок, коли функція f (x) має в точці х0 нульову похідну  (Геометрично це означає, що дотична до графіка в точці М (х0 , y0) Горизонтальна), але точка х0 не є точкою екстремуму, оскільки в цій точці  (Дійсно, лівіше х0  , А правіше х0  , Чому геометрично відповідає різне спрямування суворої опуклості графіка). Дана обставина ілюструє важливість поняття так званих точок перегину.

Нехай функція f визначена в деякій околиці точки х0 і двічі диференційована в цій околиці. точка х0 називається точкою перегину функції f, якщо вона одночасно є кінцем інтервалу суворої опуклості вгору  ) І кінцем інтервалу суворої опуклості вниз ( .

На рис.1.8 графік функції «перегинається» через дотичну до нього в точці М (х0, y0= F (x0)). На рис. 1.9 при х 1 графік функції f1(X) лежить під дотичній, А при х> х1 - над нею; навпаки, при х 2 графік функції f2(X) лежить над дотичній, А при х> x2 - під нею.

Необхідна умова існування точки перегину - рівність 0 другої похідної в цій точці, тобто . Достатня умова точки перегину: и n

1.6. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ
 І ПОБУДОВА ЇХ ГРАФИКОВ

Викладемо схему дослідження.

1.Знайти область визначення функції; визначити, парна вона чи непарна. якщо f (x) = f (-x), Тобто функція парна, то досить досліджувати її для піввісь х ? 0, а для х ? 0 дзеркально відобразити її графік щодо осі ординат, як показано на рис.1.10.

якщо f (x) = - f (-x), Тобто функція непарна, то вона досліджується для х ? 0, Азат для х ? 0 її графік відображається двічі: спочатку щодо осі ординат, а потім - в лівій півплощині щодо осі абсцис, як показано на рис.1.11.

2. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат. Справа зводиться до вирішення рівняння y = f (x) = 0 і знаходженню його коренів, а також до обчислення значення y0 = F (0).

3. Знайти асимптоти функції. Асимптоти бувають вертикальними, горизонтальними і похилими.

вертикальні асимптоти: Прямі виду х = х0 , де х0 визначаються з умови ;

горизонтальні асимптоти: Прямі виду y = y0 , де y0 визначається з умови ;

похилі асимптоти мають вигляд: y = kx + b (k ? 0) , де = , .

На рис. 1.12. вертикальна асимптота має вигляд х = 0 (вісь ординат); горизонтальна асимптота має вигляд y = 1 при х ® - ?; похила асимптота має вигляд променя ОМ, для якого b = 0, при х ® + ?. функція f не є ні парною, ні непарною.

4. Знайти точки локальних екстремумів функції. Для цього потрібно вирішити рівняння f '(x) = 0 і переконатися, що для його коренів друга похідна відрізняється від 0, тобто  , якщо .

5. Знайти точки перегину функції. Це точки, в яких друга похідна звертається в 0, тобто .

6. Дослідити знаки першої і другої похідних. Визначити ділянки зростання та спадання функції, визначити напрям опуклості графіка, точки екстремумів, точки перегину. Побудувати допоміжний графік.

Функція убуває (зростає) на деякому інтервалі, якщо її перша похідна негативна, f '(x) < 0 (позитивна, f '(x)> 0). Графік функції опуклий вгору на деякому інтервалі, якщо f '' (x) < 0, тобто друга похідна негативна (відповідно, вниз, якщо f '' (x)> 0). Точки локальних екстремумів визначаються з умови f '(x0) = 0, f '' (x0) ? 0. Знак другої похідної визначає характер екстремуму (максимум або мінімум). Точка перегину визначається умовою f '' (x0) = 0, f '' '(x0) ? 0. При побудові допоміжного малюнка треба стежити за узгодженістю результатів дослідження функції.

7. Побудувати графік функції, враховуючи результати дослідження. Тут враховуються всі результати, в тому числі парний або непарний характер функції. Графік будується з тим ступенем точності, яка характеризує якісне поведінку функції. Точно вказуються лише параметри асимптот, точки перетину з осями координат, точки локальних екстремумів і їх значення, точки перегину. Порядок нумерації функції, напрямок опуклості відображається наближено, з точним зазначенням лише кордонів інтервалів, на яких функція зростає або убуває, опукла вгору або вниз.

Приклад 1.9.

дослідити функцію  і побудувати її графік.

1. Область визначення функції  збігається з дійсною негативною полуосью, тобто {X: x ? 0}. Функція не є ні парною, ні непарною.

2. Точка (0, 0) очевидна; вирішуємо рівняння х2-  = 0. Воно має єдиний дійсний корінь, відмінний від 0, він дорівнює - 1; отже, графік перетинає вісь абсцис також в точці - 1.

3. Ні для одного х0, х0 ? 0, функція не має нескінченного межі, тобто вертикальних асимптот немає. оскільки  , То немає і горизонтальних асимптот. Відсутня також і похила асимптота, оскільки .

4. Обчислюємо першу і другу похідні.

; ;

Рівняння y '(x) = 0 має єдине дійсне рішення х =  ; при цьому  , Що відповідає локальному мінімуму. Його значення дорівнює .

5. Критичних точок, відповідних рішенням рівняння y '' (x) = 0, немає.

6. Перша похідна в інтервалі (- ?,  ) Негативна, в інтервалі (  , 0) - позитивна. Отже, функція в інтервалі (- ?,  ) Убуває, в точці  досягає свого локального мінімуму  , Потім в інтервалі (  , 0) зростає, досягаючи значення y (0) = 0 з похідною (односторонньої) y '(0) = + ?, тобто графік входить в точку 0 вертикально. При цьому графік на всій області визначення опуклий вниз, причому строго, оскільки друга похідна на всьому інтервалі (- ?, 0) позитивна.

7. З урахуванням вищевикладеного вид графіка наведено на рис. 1.13.n



 1.7. ФУНКЦІЯ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ

Нехай X, Y і Z - деякі числові множини, які є підмножинами дійсних чисел з R. Дійсною функцією двох змінних називається функція f: X 'Y ® Z, яка має у відповідність кожної впорядкованої парі (x, y) з безлічі X' Y однина f (x, y) I Z. Число z = f (x, y) називають значенням функції f в точці (x, y). Змінну z називають залежною змінною, А змінні x і y - незалежними змінними (або аргументами). Безліч X 'Y називається областю визначення функції f, а безліч {z: $ (x, y) I X 'Y, z = f (x, y)} I Z називається областю значень функції f.

Поняття дійсної функції декількох змінних є природним узагальненням поняття дійсної функції однієї змінної. Ми обмежимося випадком двох змінних, оскільки розширення розгляду на випадок довільного кінцевого числа змінних цілком очевидно і пов'язано, як правило, із зайвою громіздкістю викладу.

Нехай задана числова послідовність точок з безлічі X 'Y, тобто послідовність упорядкованих пар чисел {(xn, yn)}, N = 1, 2, ...

Кажуть, що послідовність точок {(xn, yn)}, N = 1, 2, ... сходиться до точки (A, B) I X 'Y, якщо для будь-якого e> 0 існує натуральне число N таке, що для всіх n> N виконується нерівність .

Сходиться послідовність точок позначають як  або  . З збіжності послідовності точок слід збіжність компонентних послідовностей, тобто ,  і навпаки.

Поняття межі і безперервності для дійсної функції однієї змінної також природно узагальнюються на випадок дійсної функції декількох змінних.

Число А називається межею функції f (x, y) = z в точці (x0, y0), Якщо для будь-якої збіжної до (x0, у0) Послідовності точок {(xn, yn)}, N = 1, 2, ...,  , Відповідна послідовність значень функції {f (xn, yn)}, N = 1, 2, ... сходиться до А, що позначається як .

Читачеві пропонується самостійно сформулювати еквівалентну поняття границі функції двох змінних на мові околиць, в дусі критерію Коші.

Дійсна функція двох змінних f: X 'Y ® Z неперервна в точці (x0, y0) I X 'Y, якщо для будь-якої збіжної до (x0, y0) Послідовності точок {(xn, yn)}, N = 1, 2, ...,  , Відповідна послідовність значень функції {f (xn, yn)}, N = 1, 2, ... сходиться до значення функції в точці (х0, y0), Тобто .

Це визначення безперервності функції двох змінних в точці також пропонується читачеві перевести в еквівалентну форму на мові околиць.

Звернемо увагу на таку обставину, що не має аналога в разі функції однієї змінної. функція f двох змінних, безперервна в точці (x0, y0), Називається також безперервної в цій точці за сукупністю змінних x, y; поряд з цією безперервністю використовують поняття безперервності по окремим змінним.

Зафіксуємо значення другого аргументу y0 і будемо розглядати точки виду (X, y0), Х I Х. Ясно, що при цьому функція двох змінних f (x, y) = z перетворюється, по суті, в функцію f (x, y0) однієї змінної х.

Функція двох змінних f (x, y) = z називається безперервної в точці (x0, y0) По змінній х, Якщо в точці х0 неперервна функція f (x, y0), Що розглядається як функція однієї змінної х. Аналогічно визначається неперервність в точці (x0, y0) По змінній y.

Виявляється, що функція f: X 'Y ® Z може бути безперервною в точці (x0, y0) по кожній змінній x, y в окремо, але водночас не бути безперервною в цій точці за сукупністю змінних.

Приклад 1.10.

Розглянемо функцію двох змінних  , Довизначивши її в точці (0, 0) нульовим значенням, т.е.f (0,0) = 0. Ясно, що f (x, y) визначена в будь-якій точці безлічі R? R.Досліджуємо її безперервність в точці (0, 0).

Обидві функції однієї змінної f (x, 0) і f (0, y), певні на відповідних координатних осях (f (x, 0) - на осі абсцис, f (0, y) - на осі ординат), тотожно рівні на них нулю. Тому функція f (x, y) неперервна в точці (0, 0) по кожній своїй змінної x і y.

Однак вона не є безперервною в точці (0. 0) за сукупністю змінних. Дійсно, будемо наближатися до точки (0,0) - початку координат- по променю y = kx, k ? 0. Уздовж цього променя значення функції дорівнює  , Тобто n



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Вступ | ДІЙСНІ ФУНКЦІЇ | БЕЗПЕРЕРВНІСТЬ | НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ | ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ | невласні інтеграли | Інтеграли від функцій з особливими точками. | кратним інтеграли | ЧИСЛОВІ РЯДИ | ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати