Головна |
Через специфічні властивості моделей з дискретними і обмеженими залежними змінними, метод максимальної правдоподібності має деякі особливості. Покажемо їх на прикладі моделей бінарного вибору.
Припустимо, що спостереження y1, y2, ..., yT незалежні. оскільки yt може приймати тільки значення 0 і 1, то функція правдоподібності для бінарної моделі має наступний вигляд:
a?x t)] a?x t). (10.190)
Уявімо вираз (10.190) в дещо іншій формі:
L= a?x t)] a?x t)]
де змінна yt приймає значення 0 або 1.
Логарифм виразу (10.191) має наступний вигляд:
l= lnL= a?x t) a?x t)]}*. (10.192)
Необхідними умовами максимізації функції правдоподібності є рівності нулю всіх приватних похідних її логарифма за параметрами a, Т. Е.
¶l/ ¶a= 0. (10.193)
де ft=f(a?xt) і Ft=F(a?xt), Т. Е. Функції ft и Ft мають аргумент a?xt.
Підходи до вирішення системи (10.193), т. Е. До отримання оцінок коефіцієнтів a, Залежать від форми функціоналів f(a?x) і F(a?x). При цьому зауважимо, що якщо F(a?xt) Нелінійні, то рівняння в (10.193) також нелінійні. Для їх вирішення (т. Е. Для отримання оцінок параметрів a) Використовуються ітеративні методи, описані в XI чолі.
Зокрема, для logit-моделі логарифм правдоподібності вилядіт наступним чином:
а необхідними умовами його максимізації є:
¶l/ ¶a= 0. (10.195)
Для нормального розподілу логарифм функції максимальної правдоподібності може бути записаний в наступному вигляді:
l= lnL= a?x t)] + a?x t). (10.196)
В цьому випадку необхідні умови максимізації функції правдоподібності можуть бути представлені у вигляді системи:
¶l/ ¶a= 0, (10.197)
де
jt =
Фt = o
Розглянемо особливості застосування методу максимальної правдоподібності для оцінки двовимірної probit-моделі типу (10.72). Як було зазначено вище, ймовірність того, що залежні змінні Y1 и Y2 системи (10.72) для конкретного індивідуума приймають відповідно значення yt1 и yt2, Розраховується як
P(Y1=yt1, Y2=yt2) = F2(wt1, wt2, pt *), (10.200)
де
wtj= qtj?ztj ; ztj=a?jxtj, j= 1,2; (10.201)
rt*=qt1? qt2?r; (10.202)
qt1= 2yt1-1; qt2= 2yt2-1. (10.203)
Логарифм функції правдоподібності матиме такий вигляд:
де
F2(w1t, w2t, rt *) = O o
а щільність цього розподілу має такий вигляд:
Перші похідні логарифма правдоподібності за параметрами aj, j= 1,2; і r визначаються як
¶lnL/ ¶aj=
¶lnL/ ¶r=
де
a1?xt1]?
і індекси 1 і 2 в qt1 перевернуті для отримання qt2.
Оцінки максимальної правдоподібності виходять шляхом одночасного прирівнювання трьох похідних (по a1, a2 и r) Нулю.
Модель Пуассона, що є базовою моделлю рахункових даних (див. Вираз (10.118)), являє собою нелінійну регресію. Логарифм функції правдоподібності для моделі Пуассона має наступний вигляд:
l= lnL= + yt?a? ?x t -ln (yt!)] =
+ yt?a? ?x t -ln (yt!)]. (10.210)
Необхідні умови його максимізації можна записати в такий спосіб:
¶ lnL/ ¶a= 0. (10.211)
Розглянемо особливості виразів для оцінки параметрів усіченої регресії (10.148).
Відповідно до виразом (10.139) щільність розподілу усіченої випадкової змінної уt визначається як
Логарифм функції правдоподібності є сумою логарифмів цих щільності, т. Е.
(10.213)
Після деяких перетворень виразу, на підставі яких визначаються оцінки параметрів моделі приймуть такий вигляд:
0;
де bt = (b -a? ?xt) /s и lt =j(bt) / [1-Ф (bt)].
Розглянемо оцінювання параметрів tobit-моделі (10.159). Логарифм функції правдоподібності для цензурувати регресії може бути представлений таким чином:
Перша частина виразу (10.215) відповідає класичній регресійній моделі для позацензурна спостережень, а друга частина - можливостям для цензурованих спостережень. Це - нестандартне вираз логарифма правдоподібності, так воно отримано на основі поєднання дискретного і безперервного умовних розподілів.
Необхідні умови максимізації функції правдоподібності будуть мати такий вигляд:
0;
де bt = (b -a? ?xt) /s и lt =j(bt) / [1-Ф (bt)].
Асимптотична ковариационная матриця оцінок* параметрів моделей з дискретними і обмеженими залежними змінними, отриманих за допомогою методу максимальної правдоподібності, може бути визначена двома способами:
1) як зворотна матриця до матриці математичного очікування других похідних логарифма правдоподібності (взятої з протилежним знаком):
AsyCov (a) = (-M(¶2l/ ¶a? ¶a))-1, (10.208)
де AsyD (a) - Асимптотична ковариационная матриця оцінок максимальної правдоподібності.
Зауважимо, що матриця других похідних логарифма правдоподібності використовується в ітеративних розрахунках при отриманні оцінок параметрів.
2) як оцінка Берндта, Хола, Хола і Хаусмана (БХХХ-оцінка):
де для logit-моделі та для probit-моделі (lt визначено в вираженні (10.193)).
БХХХ-оцінка застосовується при тестуванні гіпотез про коефіцієнти моделей з дискретними і обмеженими залежними змінними.
Двовимірні і багатовимірні probit-моделі. | Багатовимірні моделі бінарного вибору із цензуруванням. | Моделі множинного вибору | Гніздові logit-моделі (nested logit-models). | Моделі рахункових даних | Негативна Біноміальна модель. | Модель подолання перешкод (hurdle-model). | Моделі усічених вибірок | Моделі цензурованих вибірок | Цензурувати модель (tobit-модель). |