загрузка...
загрузка...
На головну

Елементи теорії кореляції.

  1. III. Артилерійський ПОСТРІЛ І ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ
  2. III.4.3) Види і елементи провини.
  3. XI. Пристосування ТА ІНШІ ЕЛЕМЕНТИ, властивості. Здібностей та обдарувань АРТИСТА
  4. XII. Теорії суспільного розвитку в 20 столітті.
  5. Z4.3. ТЕОРІЇ ЛІДЕРСТВА І СТИЛІ КЕРІВНИЦТВА
  6. Абсолютизм (абсолютно-гетерономний, абсолютно-автономні, інтуїтивні теорії)
  7. Автори теорії.

Теорія кореляції вивчає зв'язок між кількома ознаками і виявляє напрямок і тісноту зв'язку з цим, а так само дозволяє будувати моделі досліджуваних процесів і складати прогнози протікання цих процесів.

У багатьох задачах потрібно встановити та оцінити залежність досліджуваної випадкової величини Y від випадкової величини X.

Статистичної називають залежність, при якій зміна однієї з величин тягне за собою зміну розподілу іншої. Зокрема, статистична залежність проявляється в тому, що при зміні однієї з величин змінюється середнє значення іншої. В цьому випадку статистичну залежність називають кореляційної.

Кореляційний залежність може бути двох типів: лінійної та криволінійної.

Розглянемо більш докладно лінійну кореляційну залежність.

Лінійна кореляційний залежність (кореляція) між ознаками Х і У виражається рівнянням виду:

Таке рівняння називається рівнянням регресії У на Х, а відповідна пряма - вибіркової лінією регресії.

невідомі параметри  знаходять із системи рівнянь

.

Рівняння кореляційної залежності можна отримати з рівняння виду

де , , , , , .

Коефіцієнт кореляції (  ) Показує тісноту зв'язку і напрямки між ознаками и .

Властивості коефіцієнта кореляції:

1.

2. Якщо  = 1, то залежність між ознаками Х і У є функціональною

3. Якщо  = 0, то ознаки Х і У не пов'язані лінійної кореляційної залежністю, але залежність може мати криволінійний характер.

Зі збільшенням  зв'язок між ознаками Х і У стає тісніше.

при  - Залежність між ознаками слабка, при  - Середня, при  - Сильна.

якщо  позитивний, то зв'язок між ознаками пряма, якщо  негативний - зворотна.

Коефіцієнт кореляції обчислюється за формулою

Найпростішим візуальним способом виявити наявність взаємозв'язку між кількісними змінними є побудова діаграми розсіювання. Це графік, на якому по горизонтальній осі (X) відкладається одна змінна, по вертикальній (Y) інша. Кожному об'єкту на діаграмі відповідає точка, координати якої дорівнюють значенням пари обраних для аналізу змінних.

Вибіркової лінією регресії Y на X називається графік функції .

Приклад 1. Для виявлення кореляційної залежності оптичної щільності Y розчину від концентрації Х розчиненої речовини було проведено 10 дослідів. Їх результати наведені в таблиці.

xi
yi

Вважаючи, що між ознаками X і Y має місце лінійна кореляційний зв'язок, визначте вибіркове рівняння лінійної регресії і вибірковий коефіцієнт лінійної кореляції. Побудуйте діаграму розсіювання і лінію регресії. Зробіть висновок про направлення і тісноті зв'язку між X і Y. Використовуючи отримане рівняння лінійної регресії, оцініть очікуване середнє значення ознаки Y, при X0 = 55%.

Рішення.

Побудуємо діаграму розсіювання. Для цього на площині ХOУ відзначимо точки з координатами (xi ; yi).

За діаграмою розсіювання видно, що точки (xi ; yi) Групуються біля деякої прямої. Тому вибіркове рівняння лінійної регресії будемо шукати у вигляді y = a • x + b. Параметри a і b знайдемо методом найменших квадратів. Складемо систему нормальних рівнянь:

Допоміжні обчислення проведемо в наступній таблиці:

Отже, система нормальних рівнянь має вигляд:

.

Вирішимо її за допомогою визначників (методом Крамера). визначник системи

.

.

.

, .

Вибіркове рівняння лінійної регресії має вигляд

y = 0,506819 • x + 9,73586.

Щоб побудувати лінію регресії знайдемо координати двох точок, що належать прямій y = 0,506819 • x + 9,73586.

При x = 35 y = 0,506819 • 35 + 9,73586 = 27,474529?27,5.

При x = 75 y = 0,506819 • 75 + 9,73586 = 47,747292?47,7.

Лінія регресії - пряма, що проходить через точки (35; 27,5) і (75; 47,7).

Вибірковий коефіцієнт лінійної кореляції знайдемо по формулі

 , де  - Спостерігалися значення ознак X і Y;  - Обсяг вибірки;  - Вибіркові середні;  - Вибіркові среднеквадратические відхилення.

. .

.

.

.

Так як вибірковий коефіцієнт лінійної кореляції  , То кореляція позитивна, т. Е. Зі зростанням x зростає і y. Так як  дуже близько до одиниці, то зв'язок між ознаками x і y тісний. Тому отримане рівняння регресії y на x можна використовувати для прогнозів. Оцінимо очікуване середнє значення y при X0 = 55%.

y = 0,506819 • 55 + 9,73586 = 37,610911?37,6

Відповідь: рівняння регресії y = 0,506819 • x + 9,73586 можна використовувати для прогнозів; зв'язок між ознаками x і y тісний, позитивна. вибірковий коефіцієнт лінійної кореляції  . При концентрації розчиненого речовини, рівного 55 г середня оптична щільність розчину становить 37,6.

 



Попередня   35   36   37   38   39   40   41   42   43   44   45   46   47   48   49   50

Диференціальні рівняння першого порядку з розділеними і перемінними | Глава 2. | Елементи комбінаторики. | Класичне визначення ймовірності | Основні властивості ймовірності випадкової події. | Теореми додавання і множення ймовірностей. | Формула повної ймовірності та формула Байєса | Повторні незалежні випробування | випадкові величини | Основні числові характеристики дискретної випадкової величини |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати