На головну

Формула повної ймовірності та формула Байєса

  1. I. КЛАСИЧНЕ ВИЗНАЧЕННЯ ІМОВІРНОСТІ.
  2. III. ФОРМУЛИ ПОВНОГО ІМОВІРНОСТІ І Байєса.
  3. IV. ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ І МАТЕМАТИЧНА
  4. Аксіоми теорії ймовірностей. Дискретні простору елементарних фіналів. Класичне визначення ймовірності
  5. Аналогічна формула описує об'ємне розширення порід
  6. Барометрична формула і розподіл Больцмана
  7. Барометрична формула. РозподілБольцмана

Теорема 1. якщо подія  може наступити за умови настання однієї з подій  , То ймовірність цієї події знаходять за формулою повної ймовірності

Теорема 2. подія  може наступити за умови настання однієї з подій  . Відомо, що подія  настало. Тоді ймовірність однієї з подій  знаходять за формулою Байеса.

Визначення. Сукупність випадкових подій  називається повною групою подій для даного випробування, якщо в результаті випробування обов'язково відбувається тільки одна з подій цієї сукупності.

Слідство.

Приклад. У магазин надійшла нова продукція з трьох підприємств. Процентний склад цієї продукції наступний: 20% - продукція першого підприємства, 30% - продукція другого підприємства, 50% - продукція третього підприємства; далі, 10% продукції першого підприємства вищого сорту, на другому підприємстві - 5% і на третьому - 20% продукції вищого сорту. Знайти ймовірність того, що випадково куплена нова продукція користуватиметься вищого сорту.

Рішення.

А = {буде куплена продукція вищого гатунку}

 = {Куплена продукція, що належить  підприємству},

Можна застосувати формулу повної ймовірності, причому в наших позначеннях:

Підставляючи ці значення в формулу повної ймовірності, отримаємо шукану ймовірність:

Відповідь: ймовірність того, що випадково куплена нова продукція користуватиметься вищого сорту, дорівнює 0,135.

Приклад. На трьох верстатах-автоматах обробляються однотипні деталі, що надходять після обробки на загальний конвеєр. Перший верстат дає 2% браку, другий - 7%, третій - 10%. Продуктивність першого верстата в 3 рази більше продуктивності другого, а третього - в 2 рази менше, ніж другого.

а) Який відсоток браку на конвеєрі?

б) Які частки деталей кожного верстата серед бракованих деталей на конвеєрі?

Рішення.

Візьмемо з конвеєра навмання одну деталь і розглянемо подія А - деталь бракована. Воно пов'язане з гіпотезами щодо того, де була оброблена ця деталь:  - Взята навмання деталь оброблена на  -ом верстаті, .

Умовні ймовірності (в умові завдання вони дані у формі відсотків):

Залежності між продуктивністю верстатів означають наступне:

.

А так як гіпотези утворюють повну групу, то

.

Вирішивши отриману систему рівнянь, знайдемо:

.

а) Повна ймовірність того, що взята навмання з конвеєра деталь - бракована:

.

Іншими словами, в масі деталей, що сходять з конвеєра, шлюб становить 4%.

б) Нехай відомо, що взята навмання деталь - бракована. Користуючись формулою Байеса, знайдемо умовні ймовірності гіпотез:

,

,

.

Таким чином, в загальній масі бракованих деталей на конвеєрі частка першого верстата становить 33%, другого - 39%, третього - 28%.



Попередня   35   36   37   38   39   40   41   42   43   44   45   46   47   48   49   50   Наступна

Чисельність популяції. | Біомаса популяції. | Середня довжина прольоту. | Диференційне рівняння | Диференціальні рівняння першого порядку. Завдання Коші. | Диференціальні рівняння першого порядку з розділеними і перемінними | Глава 2. | Елементи комбінаторики. | Класичне визначення ймовірності | Основні властивості ймовірності випадкової події. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати