Головна

Координатне подання змішаного добутку.

  1. Властивості векторного добутку.
  2. Властивості змішаного добутку.
  3. Застосування векторного добутку.
  4. Застосування змішаного добутку.
  5. Контрольна перевірка правильності обчислення векторного добутку.
  6. Координатне подання арифметичних операцій над векторами.
  7. Координатне подання векторного добутку в детермінантній формі.

Принципово питання про координатне подання змішаного добутку "знімається" самим означенням змішаного добутку: це поняття є похідним від понять скалярного і векторного добутків, для яких координатне подання дано у попередніх лекціях. Дійсно, нехай вектори і задані своїми координатами:

тоді

.

Звідси

.

Якщо в отриманому виразі розкрити присутні в ньому визначники, то ми отримаємо досить громіздкий вираз. З ним незручно мати справу при виконанні проміжних перетворень і міркувань. Але при уважному погляді ми побачимо визначник третього порядку (див. §2), що дозволяє подати змішаний добуток у компактному і красивому вигляді. Нагадаємо, що за означенням, визначник третього порядку - визначник квадратної матриці третього порядку - обчислюється за формулою

.

Теорема (про координатне подання змішаного добутку). Нехай вектори і задані своїми координатами:

тоді змішаний добуток обчислюється за формулою:

.

Доведення. Ми знаємо, що векторний добуток при заданих координатах векторів-множників обчислюється наступним чином:

.

Відомо, що скалярний добуток дорівнює сумі добутків однойменних координат векторів-множників. Отже, змішаний добуток буде дорівнювати:

.

Приклад. Нехай . Тоді

(отже, вектори і - компланарні).

Поєднуючи критерій компланарності трьох векторів з формулою координатного подання змішаного добутку, отримуємо: якщо вектори і задані своїми координатами: то необхідною і достатньою умовою компланарності цих векторів є співвідношення:

,

тобто рівність нулю визначника третього порядку, який складено з координат векторів і .



  27   28   29   30   31   32   33   34   35   36   37   38   39   40   41   42   Наступна

Розв'язання ЗЛП. | Поняття векторного добутку. | Властивості векторного добутку. | Теорема (алгебраїчні властивості векторного добутку). | Координатне подання векторного добутку. | Координатне подання векторного добутку в детермінантній формі. | Приклад. | Контрольна перевірка правильності обчислення векторного добутку. | Застосування векторного добутку. | Поняття змішаного добутку. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати