Головна |
Нехай маємо дві прямі лінії, які задані рівняннями:
Припустимо, що ці прямі не паралельні. В §1встановлено, що умовою паралельності прямих є пропорційність відповідних коефіцієнтів при змінних. Отже, нехай коефіцієнти не пропорційні. Тоді ці прямі неодмінно мають точку перетину, і до того ж тільки одну. Це, так би мовити, принципова геометрична інформація. Далі виконуємо аналітичну роботу: знаходимо координати точки перетину. Для цього треба розв'язати СЛР:
Якщо перше рівняння помножити на , друге помножити на і від першого відняти друге, у формальному запису
,
то коефіцієнт при буде рівний 0, тобто змінна буде виключена, утвориться рівняння від однієї змінної :
,
звідки
.
Виключивши подібним чином змінну (пояснити, як саме: вказати відповідне перетворення), отримаємо:
,
звідки
.
Придивимось уважно до отриманих формул, які визначають значення координати точки перетину. Ми побачимо, що вирази у чисельниках і знаменниках утворені за однаковою алгебраїчною схемою:
,
,
.
Таблиця
називається матрицею розмірів 2х2 (або квадратною матрицею порядку 2), а число, обчислене за правилом: ліве верхнє число помножити на праве нижнє число мінус праве верхнє число помножити на ліве нижнє число, - називається визначником (або детермінантом) цієї матриці, точніше, визначником другого порядку. Відповідний вираз - він же є визначник - має своє позначення:
.
Таким чином, маємо формули:
, .
Стосовно розглядуваної задачі знаходження розв'язку СЛР використовується спеціальна термінологія і позначення:
- основний визначник (складений з коефіцієнтів при змінних);
- допоміжний визначник- чисельник дробу для обчислення ;
- допоміжний визначник - чисельник дробу для обчислення .
Таким чином, доведена
Теорема Крамера для СЛР 2х2. Якщо основний визначник СЛР
відмінний від нуля, то СЛР має, і до того ж єдиний, розв'язок, який знаходиться за формулами (правилом) Крамера:
, .
Приклад. Знайдемо точку перетину двох прямих і . Задача зводиться до розв'язання СЛР
Увага: формули Крамера виведені для такого запису СЛР, у якому вільні члени знаходяться в правих частинах СЛР. Виконаємо потрібне перетворення:
Тепер усе готове до застосування правила Крамера.
Порада: для людей з не дуже великим практичним математичним досвідом дуже корисним буде супроводжувати аналітичні перетворення геометричними ескізами. От, наприклад, попереднє зауваження. Раптом людина забула перенести у рівняннях прямих вільні члени у праві частини (автор багато-багато разів спостерігав це явище), - тоді (при подальших правильних діях) вона отримає числа, протилежні за знаком істинним координатам точки перетину прямих. Навіть нашвидкуруч виконаний малюнок застереже від принципової помилки:
≠ 0 (не важливо, додатнє значення має визначник чи від'ємне, аби не нульове) правило Крамера можна застосовувати.
,
,
, .
Знайдені значення координат точки перетину прямих не протирічать малюнку. Робимо аналітичну перевірку:
Остаточно: точка перетину прямих .
Розділ І. | Декартова система координат. Координати точки. | Відстань між двома точками. Рівняння кола та сфери. | Ділення відрізка у даному відношенні. | Пряма лінія на площині. | Площина в просторі. | Має два розв'язки. | Перетин двох прямих на площині; одна з прямих задана канонічним рівнянням. | Знаходження точки перетину прямої і площини. | Поняття вільного вектора. |