загрузка...
загрузка...
На головну

Пряма лінія на площині.

  1. Знаходження точки перетину двох прямих ліній на площині.
  2. Несобственно-прямая речь
  3. Подраздел 1.1. Точка. Прямая. Взаимное расположение прямых.
  4. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором всякая прямая, проведенная в этом теле, остается параллельной своему начальному положению.
  5. Пряма і площина в просторі.
  6. Прямая задача кинематики

Так само, як і точка, пряма лінія в геометрії є неозначуваним поняттям. І так само ми зустрічаємо "означення" прямої в "Началах" Евкліда. Спочатку Евклід визначає поняття лінії: це "довжина без ширини". Пряма лінія - це "лінія, яка однаково розташована по відношенню до кожної із своїх частин".

В аналітичній геометрії, тепер, коли ми можемо ототожнити точки з парами чи трійками координат, можна дати означення прямої лінії: пряма - це геометричне місце точок, координати яких задовольняють лінійне рівняння (це означення прямої лінії на координатній площини):

.

Наведене рівняння зветься загальним рівнянням прямої і відоме з курсу математики для середньої школи; там же визначалось рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

.

Параметри у цьому рівнянні мають такий геометричний зміст: - кутовий коефіцієнт - тангенс кута нахилу прямої до додатного напрямку осі абсцис, - точка на осі ординат, через яку проходить пряма. Очевидною умовою паралельності прямих є рівність їх кутових коефіцієнтів:

Тригонометрія дає умову перпендикулярності двох прямих. Нехай

,

(цей запис говорить, що прямі задані відповідними рівняннями), тоді умовою перпендикулярності цих прямих буде такий зв'язок між їх кутовими коефіцієнтами:

В цьому параграфі ми познайомимось ще з двома типами рівнянь прямої:

- канонічне рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

і :

;

- рівняння прямої "у відрізках":

.

В цьому рівнянні і - це відрізки, які пряма відтинає на координатних осях; точніше буде сказати так: дана пряма проходить через точки і .

Поєднаємо тепер геометрію з алгеброю для розв'язання задачі: на даній прямій знайти точку, найближчу до заданої точки. Цю задачу будемо розглядати для конкретних заданих прямої та точки, а саме, нехай пряма лінія визначається рівнянням , а задана точка має координати .

В геометрії аналогом подібних задач, тобто задач на обчислення, є задачі на побудову (циркулем і лінійкою). Першим кроком у розв'язанні таких задач є аналіз, який починається словами: "припустимо, що задача розв'язана". Далі будується ескізний малюнок, який аналізується щодо можливості побудови відповідної фігури. В аналітичній геометрії ми робимо аналогічне припущення: нехай - шукана точка прямої. Підставимо координати точок і у формулу відстані між двома точками:

.

Координати точки мають задовольняти рівняння прямої, отже

.

Звідси можна виразити одну з невідомих координат точки через іншу. В даному випадку доцільніше виразити через :

.

Підставимо вираз для у формулу для :

Точка має доставляти мінімум відстані , а отже, і функції .

В математичному аналізі за мінімуми "відповідає" теорема Ферма (§ 19), в аналітичній геометрії ми маємо у розпорядженні геометричні міркування і алгебраїчні перетворення.

Геометричні міркування. Найближча точка від даної на даній прямій - це основа перпендикуляра, опущеного з даної точки на дану пряму. Перетворюємо рівняння даної прямої у рівняння з кутовим коефіцієнтом: . Кутовий коефіцієнт даної прямої . Кутовий коефіцієнт перпендикулярної прямої . Рівняння перпендикуляра . Знаходимо точку перетину даної прямої і перпендикуляра до неї - розв'язуємо систему рівнянь:

.

Звідси

і .

Отже, найближчою для точки на прямій буде точка .

Більш складним і цікавим щодо застосування методу координат є задача про визначення місця для побудови водокачки (див. Вступ).

За відправну точку при побудові математичної моделі задачі можна взяти таку аналітико-геометричну задачу: на осі абсцис знайти точку з мінімальною сумою відстаней до заданих точок і .

y

           
   
 
А
 
   
 


 
 


x
( Берег річки)

Далі можна, знову ж таки, йти "простим" шляхом і звести задачу до

знаходження точки мінімуму ірраціональної функції:

,

для чого застосувати теорему Ферма. Тільки тоді доведеться розв'язувати не таке вже й просте ірраціональне рівняння (див. § 19).

Аналітична геометрія може дуже елегантно розв'язати цю задачу, використовуючи тонкі геометричні міркування:

Побудуємо точку , симетричну відносно прямої , що визначає лінію берега. З'єднаємо з . Шукана точка - це точка перетину з . Стверджується, що ця точка є шуканою (доведення цього факту є вправою для самостійного доведення).

Тепер алгебраїчна реалізація геометричної ідеї:

1) складаємо рівняння перпендикуляра до прямої , який проходить через точку ;

2) знаходимо точку перетину перпендикуляра з прямою (це буде середина відрізка ;

3) використовуючи формулу для координат середини відрізка, знаходимо координати точки ;

4) складаємо рівняння прямої, що проходить через точки і ;

5) розв'язуємо систему рівнянь, складену з рівняння даної прямої і прямої ; отримаємо координати шуканої точки .

 



  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Розділ І. | Декартова система координат. Координати точки. | Відстань між двома точками. Рівняння кола та сфери. | Має два розв'язки. | Вправа. Знайти найбільше значення параметра , при якому система | Знаходження точки перетину двох прямих ліній на площині. | Нехай маємо три площини | Перетин двох прямих на площині; одна з прямих задана канонічним рівнянням. | Знаходження точки перетину прямої і площини. | Поняття вільного вектора. |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати