Головна |
Формула ділення відрізка в заданому відношенні грунтується на теоремі Фалеса: якщо дві дані прямі перетнути трьома (або більшою кількістю) паралельних прямих, то відношення довжин відрізків, що відтинаються цими паралельними прямими на одній з даних прямих, дорівнює відношенню довжин відповідних відрізків на другій з даних прямих.
Розглянемо задачу ділення заданого відрізку прямої на координатній площині на рівних частин. Це означає: за заданими координатами кінців відрізку , (розглядаємо задачу для випадку площини) знайти координати точок ділення , , ..., , так що
.
Виходячи з теореми Фалеса, відрізки та , які є проекціями даного відрізку на координатні осі, також поділені на рівних частин. Отже,
,
.
Звідси,
, ;
, .
Остаточно маємо координати точок ділення:
,
,
...
,
...
.
Тепер розглянемо задачу ділення заданого відрізку прямої на координатній площині у заданому відношенні . Це означає: за заданими координатами кінців відрізку , знайти координати точки ділення цього відрізку так, щоби відношення довжин відрізків та дорівнювало :
Треба знайти координати точки , виходячи з того, що відношення довжин відрізків та має дорівнювати :
.
Повторюючи міркування з попередньої задачі, маємо:
.
Аналогічно отримуємо
.
Зокрема, якщо треба поділити відрізок навпіл, то точка ділення буде мати такі координати:
,
.
Аналогічні формули мають місце для випадку простору.
Розділ І. | Декартова система координат. Координати точки. | Площина в просторі. | Має два розв'язки. | Вправа. Знайти найбільше значення параметра , при якому система | Знаходження точки перетину двох прямих ліній на площині. | Нехай маємо три площини | Перетин двох прямих на площині; одна з прямих задана канонічним рівнянням. | Знаходження точки перетину прямої і площини. | Поняття вільного вектора. |