загрузка...
загрузка...
На головну

ефективність

  1. Альтернативні витрати та ефективність економіки
  2. Аргументи і їх вплив на ефективність спілкування
  3. БЮДЖЕТНА ЕФЕКТИВНІСТЬ ІНВЕСТИЦІЙНОГО ПРОЕКТУ
  4. Види і ефективність фіскальної політики
  5. Вплив технологічних нововведень на ефективність туристичного бізнесу
  6. Добавки для бетонів і їх ефективність
  7. Якщо заявник звертає увагу на неефективність роботи призначеного адвоката, то Суд досліджує всі обставини справи.

Незміщеність - бажане властивість оцінок, але це не єдина така властивість. Ще одна важлива їх сторона - це надійність. Звичайно, важливо, щоб оцінка була точною в середньому за тривалий період, але, як одного разу зауважив Дж. М. Кейнс, «в довгостроковому періоді ми всі помремо». Ми хотіли б, щоб наша оцінка з максимально можливою вірогідністю давала б близьке значення до теоретичної характеристиці, що означає бажання отримати функцію щільності ймовірності, як можна більш «стислу» навколо істинного значення. Один із способів висловити цю вимогу - сказати, що ми хотіли б отримати наскільки можливо малу дисперсію.

Припустимо, що ми маємо дві оцінки теоретичного середнього, розраховані на основі однієї і тієї ж інформації, що обидві вони є незміщеними і що їх функції щільності ймовірності показані на рис. A.7. Оскільки функція щільності ймовірності для оцінки  більш «стиснута», ніж для оцінки  , З її допомогою ми швидше отримаємо більш точне значення. Формально кажучи, ця оцінка більш ефективна.

Мал. A.7.

Важливо зауважити, що ми використовували тут слово «швидше». Навіть хоча оцінка  більш ефективна, це не означає, що вона завжди дає більш точне значення. При певному збігу обставин значення оцінки  може бути ближче до істини. Однак імовірність того, що оцінка  виявиться точнішою, ніж  , Становить менше 50%.

Це нагадує питання про те, чи користуватися ременями безпеки при управлінні автомобілем. Безліч оглядів в різних країнах показало, що значно менш імовірно загинути або отримати каліцтва в дорожній пригоді, якщо скористатися ременями безпеки. У той же час не раз відзначалися дивні випадки, коли що не зробив цього індивід чудесним чином вцілів, але загинув би, будучи пристебнутий ременями. Згадані огляди не заперечують цього. У них лише робиться висновок, що перевага на боці тих, хто користується ременями безпеки. Подібним же перевагою володіє і ефективна оцінка. (Неприємний коментар: у тих країнах, де користування ременями безпеки зроблено обов'язковим, скоротилася пропозиція для трансплантації нирок людей, що стали жертвами аварій.)

Ми говорили про бажання отримати оцінку як можна з меншою дисперсією, і ефективна оцінка - це та, у якої дисперсія мінімальна. Зараз ми розглянемо дисперсію узагальненої оцінки теоретичного середнього і покажемо, що вона мінімальна у тому випадку, коли обидва спостереження мають рівні ваги.

якщо спостереження и  незалежні, теоретична дисперсія узагальненої оцінки дорівнює:

 . (A.21)

Ми вже з'ясували, що для незсуненості оцінки необхідно рівність одиниці суми и  . Отже, для незміщене оцінок и

 . (A.22)

Оскільки ми хочемо вибрати  так, щоб мінімізувати дисперсію, нам потрібно мінімізувати при цьому  . Це завдання можна вирішити графічно або за допомогою диференціального обчислення. У будь-якому випадку мінімум досягається при  . отже,  також дорівнює 0,5.

Отже, ми показали, що вибіркове середнє має найменшу дисперсію серед оцінок розглянутого типу. Це означає, що вона має більш «стислий» імовірнісний розподіл навколо істинного середнього і, отже (в імовірнісному сенсі), найбільш точно. Строго кажучи, вибіркове середнє - це найбільш ефективна оцінка серед усіх незміщене оцінок. Звичайно, ми показали це тільки для випадку з двома спостереженнями, але зроблені висновки вірні для вибірок будь-якого розміру, якщо спостереження не залежать один від одного.

Два заключних зауваження: по-перше, ефективність оцінок можна порівнювати лише тоді, коли вони використовують одну і ту ж інформацію, наприклад один і той же набір спостережень декількох випадкових змінних. Якщо одна з оцінок використовує в 10 разів більше інформації, ніж інша, то вона цілком може мати меншу дисперсію, але було б неправильно вважати її більш ефективною. По-друге, ми обмежуємо поняття ефективності порівнянням розподілів незміщене оцінок. Існують визначення ефективності, узагальнюючі це поняття на випадок можливого порівняння зміщених оцінок, але в цьому посібнику ми дотримуємося цього простого визначення.



Попередня   25   26   27   28   29   30   31   32   33   34   35   36   37   38   39   40   Наступна

Автокорреляция в залишках. Критерій Дарбіна-Уотсона | Дискретна випадкова змінна | Математичне сподівання дискретної випадкової величини | Математичні очікування функцій дискретних випадкових змінних | Правила розрахунку математичного очікування | Теоретична дисперсія випадкової змінної | Імовірність в безперервному випадку | Постійна і випадкова складові випадкової змінної | Способи оцінювання і оцінки | Оцінки як випадкові величини |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати